Matrix of partial derivatives of a vector-valued function
ベクトル解析 において 、 多変数 ベクトル値関数 の ヤコビ行列 （ , [1] [2] [3] そのすべての1次 偏導関数の 行列 である。この行列が 正方行列 、つまり変数の数が関数値の成分の数に等しい場合 その 式は ヤコビ 行列式 と呼ばれる。行列と（該当する場合）行列式の両方を単に ヤコビ 行列式と呼ぶことが多い 。 [4] これらは カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ にちなんで名付けられている。
ヤコビ行列は、 通常の関数の微分および導関数を、多変数のベクトル値関数に自然に一般化したものです。この一般化には、逆関数定理と暗黙関数定理の一般化が含まれており 、 導 関数 の 非 零 性はヤコビ行列式の非零性に置き換えられ、導関数の 逆乗法は ヤコビ行列の 逆行列 に置き換えられます。
ヤコビ行列式は、基本的に 多重積分 における変数の変更に使用されます。
意味 を関数と し、その1階偏微分はすべて 上に存在するとします 。この関数は点 を入力として取り、ベクトル を出力として生成します。すると、 f のヤコビ行列 J f は、 ( i , j ) 要素が明示的に と なる 行列 です。 ここでは、 -番目 の成分の 勾配 の転置（行ベクトル）です 。 f : R n → R m {\textstyle \mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} R n {\textstyle \mathbb {R} ^{n}} x = ( x 1 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} f ( x ) = ( f 1 ( x ) , … , f m ( x ) ) ∈ R m {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=(f_{1}(\mathbf {x} ),\ldots ,f_{m}(\mathbf {x} ))\in \mathbb {R} ^{m}} m × n {\displaystyle m\times n} ∂ f i ∂ x j ; {\textstyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}};} J f = [ ∂ f ∂ x 1 ⋯ ∂ f ∂ x n ] = [ ∇ T f 1 ⋮ ∇ T f m ] = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] {\displaystyle \mathbf {J_{f}} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}} ∇ T f i {\displaystyle \nabla ^{\mathsf {T}}f_{i}} i {\displaystyle i}
ヤコビ行列は、その要素が x の関数であり、様々な方法で表記されます。他の一般的な表記法には、 D f 、、 などがあります 。 [5] [6] 一部の著者は、ヤコビ行列を 上記の形式の 転置として定義しています。 ∇ f {\displaystyle \nabla \mathbf {f} } ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) {\textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}
ヤコビ行列は、 f が微分可能なすべての点における f の 微分 を 表します 。詳しくは、 h が列行列 で表される 変位ベクトル である場合 、 行列積 J ( x ) ⋅ hは別の変位ベクトルであり、 f ( x )が x で 微分可能 な 場合、 x の 近傍 における f の変化の最良の線形近似です 。 [a]これは、 yを f ( x ) + J ( x ) ⋅ ( y – x ) に 写像する関数が、 x に近いすべての点 y に対する f ( y ) の 最良の 線形近似 であることを意味します。 線形写像 h → J ( x ) ⋅ hは、 x における f の 導関数 または 微分 として知られています 。
のとき 、ヤコビ行列は正方行列なので、その 行列式は x の明確に定義された関数となり 、 f の ヤコビ行列式と呼ばれる。これは f の局所的な振る舞いに関する重要な情報を持っている 。特に、関数 f が点 x の近傍において微分可能な 逆関数 を持つ 場合と、ヤコビ行列式が x においてゼロでない場合とで同じである（この説明については 逆関数定理を、関連する 大域的 可逆性の問題については ヤコビ予想 を参照）。ヤコビ行列式は、 多重積分 において変数を変換する場合にも現れる （ 多重変数の置換規則を 参照）。 m = n {\textstyle m=n}
のとき 、つまり が スカラー値関数 のとき 、ヤコビ行列は行 ベクトルに簡約されます。 のすべての 1 階偏導関数のこの行ベクトルは の 勾配 の 転置 、 つまり です 。さらに特殊化すると、 のとき 、つまり が単一変数の スカラー値関数 のとき 、ヤコビ行列は単一の要素を持ちます。この要素は関数 の導関数です。 m = 1 {\textstyle m=1} f : R n → R {\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ∇ T f {\displaystyle \nabla ^{\mathsf {T}}f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} J f = ∇ T f {\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla ^{\mathsf {T}}f} m = n = 1 {\textstyle m=n=1} f : R → R {\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } f {\displaystyle f}
これらの概念は、 数学者 カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ (1804–1851) にちなんで名付けられました。
ヤコビ行列 多変数ベクトル値関数のヤコビ行列は、多変数 スカラー 値関数の 勾配 を一般化し、さらに一変数スカラー値関数の微分を一般化します。言い換えれば、 多変数スカラー値関数 のヤコビ行列はその勾配（の転置）であり、一変数スカラー値関数の勾配はその微分です。
関数が微分可能な各点において、そのヤコビ行列は、関数がその点の近傍で局所的に及ぼす「伸縮」、「回転」、または「変換」の量を記述するものと考えることもできます。例えば、 ( x ′, y ′) = f ( x , y ) を使用して画像を滑らかに変換する場合、ヤコビ行列 J f ( x , y )は、 ( x , y ) の近傍における画像がどのように 変換されるかを記述します。
関数がある点で微分可能である場合、その微分はヤコビ行列によって座標上で与えられます。しかし、ヤコビ行列を定義するためには関数が微分可能である必要はありません。なぜなら、その関数の1階偏 微分 のみが存在する必要があるからです。
f が R n 内の 点 p で微分可能で ある 場合 、その 微分は J f ( p ) で表される 。この場合、 J f ( p ) で表される 線型変換は、 点 pの近傍における f の 最良の 線型近似 であり、次の意味で用いられる。
f ( x ) − f ( p ) = J f ( p ) ( x − p ) + o ( ‖ x − p ‖ ) ( as x → p ) , {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}
ここで、 o (‖ x − p ‖)は、 xが p に近づく につれて、 x と p 間の 距離が ゼロに近づくよりもはるかに速くゼロに近づく 量 である 。この近似は、1変数のスカラー関数を1次 テイラー多項式 で近似することに特化しており、すなわち
f ( x ) − f ( p ) = f ′ ( p ) ( x − p ) + o ( x − p ) ( as x → p ) . {\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p).}
この意味で、ヤコビアンは多変数ベクトル値関数の 一種の「 一階微分」とみなすことができます。特に、これは多変数スカラー値関数の 勾配 もその「一階微分」とみなせることを意味します。
合成可能微分可能関数 f : R n → R m と g : R m → R k は連鎖律 を満たします 。つまり、 R n 内の x に対してです 。 J g ∘ f ( x ) = J g ( f ( x ) ) J f ( x ) {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}
複数の変数のスカラー関数の勾配のヤコビアンには、 ヘッセ行列 という特別な名前があり、これはある意味では 問題の関数の
「 2 次導関数」です。
ヤコビ行列式 非線形写像は 、小さな正方形（左、赤）を歪んだ平行四辺形（右、赤）に写します。ある点におけるヤコビ行列式は、その点付近の歪んだ平行四辺形（右、半透明の白）の最良の線形近似を与え、ヤコビ行列式は近似した平行四辺形の面積と元の正方形の面積の比を与えます。 f : R 2 → R 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} m = n の場合 、 fは R n からそれ自身への関数であり 、ヤコビ行列は 正方行列となる。このとき、その 行列式 を形成でき 、これは ヤコビ行列式 として知られる。ヤコビ行列式は単に「ヤコビアン」と呼ばれることもある。
与えられた点におけるヤコビ行列式は、その点付近での関数f の挙動に関する重要な情報を与えます 。例えば、 連続的に微分可能な関数 f は、点 p におけるヤコビ行列式が ゼロでない場合、 点 p ∈ R n 付近で逆関数 となります。これは 逆関数定理 です。さらに、 p におけるヤコビ行列式が正の 場合 、 f は p 付近で 方向を 保ちます。 負の 場合 、 f は 方向を反転します。p における ヤコビ行列式の 絶対値は、 関数 fが p 付近で 体積を 拡大または縮小する係数を与えます 。これが、一般 置換規則 でこの係数が使用される理由です。
ヤコビ行列式は、関数の 定義域内の領域における 重積分 を評価する際に 変数変換を行う際に用いられます。座標変換に対応するため、ヤコビ行列式の大きさは積分における乗法係数として現れます。これは、 n 次元 dV 要素が一般に 新しい座標系では 平行六面体であり、平行六面体の n 体積がその辺ベクトルの行列式となるためです。
ヤコビアンは、 平衡点付近の動作を近似することによって、 微分方程式系の 平衡 の安定性を決定するためにも使用できます。
逆 逆関数定理 によれば 、 可逆関数 f : R n → R n のヤコビ行列の 逆行列は 逆 関数のヤコビ行列である 。つまり、点 p における逆関数のヤコビ行列は
J f − 1 ( p ) = J f − 1 ( f − 1 ( p ) ) , {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} )={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} ))},}
そしてヤコビ行列式は
det ( J f − 1 ( p ) ) = 1 det ( J f ( f − 1 ( p ) ) ) . {\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} ))={\frac {1}{\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} )))}}.}
R n の 点 p においてヤコビ行列式が連続かつ非特異ならば、 p の 近傍 に制限された関数 f は逆関数となる。言い換えれば、ある点においてヤコビ行列式がゼロでない場合、その点の近傍において関数は 局所的に逆関数 となる。
（未証明の） ヤコビ予想は、 n 個の変数を持つ n個の 多項式 で定義される多項式関数における大域的可逆性に関するものです 。ヤコビ予想は、ヤコビ行列式が非零の定数（あるいは、複素零点を持たない）である場合、その関数は可逆であり、その逆関数は多項式関数であると主張します。
重要なポイント f : R n → R m が 微分可能関数 である 場合 、 f の 臨界点とは、ヤコビ行列の 階数 が最大とならない点のことである 。これは、臨界点における階数が、近傍点における階数よりも低いことを意味する。言い換えれば、 f の像に含まれる 開球 の最大次元を kとすると、 f の 階数 k のすべての小行列式 がゼロとなる 点が臨界点となる。
m = n = k の場合 、ヤコビ行列式がゼロになる点は臨界点となります。
例
例1 関数 f : R 2 → R 3 （ x , y ） ↦ （ f 1 ( x , y ), f 2 ( x , y ), f 3 ( x , y )） を
考えます 。
f ( [ x y ] ) = [ f 1 ( x , y ) f 2 ( x , y ) f 3 ( x , y ) ] = [ x 2 y 5 x + sin y 4 y ] . {\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\\f_{3}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\\4y\end{bmatrix}}.}
f のヤコビ行列 は
J f ( x , y ) = [ ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 3 ∂ x ∂ f 3 ∂ y ] = [ 2 x y x 2 5 cos y 0 4 ] {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\\0&4\end{bmatrix}}}
極座標 （ r 、 φ ）から 直交座標 （ x 、 y ）へ の変換は 、関数 F ： R + × [0、2π ）→ R 2で与えられ 、 その成分は
x = r cos φ ; y = r sin φ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}
J F ( r , φ ) = [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ φ ] = [ cos φ − r sin φ sin φ r cos φ ] {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}
ヤコビ行列式は r に等しい。これを用いて、2つの座標系間の積分を変換することができる。
∬ F ( A ) f ( x , y ) d x d y = ∬ A f ( r cos φ , r sin φ ) r d r d φ . {\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}
球座標 （ ρ 、 φ 、 θ ） [7]から 直交座標 （ x 、 y 、 z ）へ の変換は 、関数 F ： R + × [0、 π ) × [0、2π ) → R 3 で与えられ、その成分は
x = ρ sin φ cos θ ; y = ρ sin φ sin θ ; z = ρ cos φ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}
この座標変換のヤコビ行列は
J F ( ρ , φ , θ ) = [ ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ φ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ φ ∂ y ∂ θ ∂ z ∂ ρ ∂ z ∂ φ ∂ z ∂ θ ] = [ sin φ cos θ ρ cos φ cos θ − ρ sin φ sin θ sin φ sin θ ρ cos φ sin θ ρ sin φ cos θ cos φ − ρ sin φ 0 ] . {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}
行列 式は ρ 2 sin φ です 。dV = dx dy dz は長方形の微分体積要素の体積（直方体の体積は辺の積であるため）なので、dV = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ は球面微分体積要素の体積と解釈できます 。 長方形 の 微分 体積 要素 の 体積 と は 異なり 、 この微分体積要素の体積は定数ではなく、座標（ ρ と φ ）に応じて変化します。これは、2つの座標系間の積分を変換するために使用できます。
∭ F ( U ) f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ U f ( ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos φ ) ρ 2 sin φ d ρ d φ d θ . {\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}
例4 関数 F : R3 → R4 の 成分を持つ ヤコビ行列
y 1 = x 1 y 2 = 5 x 3 y 3 = 4 x 2 2 − 2 x 3 y 4 = x 3 sin x 1 {\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}
は
J F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = [ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 1 ∂ x 3 ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 3 ∂ y 3 ∂ x 1 ∂ y 3 ∂ x 2 ∂ y 3 ∂ x 3 ∂ y 4 ∂ x 1 ∂ y 4 ∂ x 2 ∂ y 4 ∂ x 3 ] = [ 1 0 0 0 0 5 0 8 x 2 − 2 x 3 cos x 1 0 sin x 1 ] . {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}
この例は、ヤコビ行列が正方行列である必要がないことを示しています。
例5 関数 F : R3 → R3 の ヤコビ行列式は 、
y 1 = 5 x 2 y 2 = 4 x 1 2 − 2 sin ( x 2 x 3 ) y 3 = x 2 x 3 {\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}
は
| 0 5 0 8 x 1 − 2 x 3 cos ( x 2 x 3 ) − 2 x 2 cos ( x 2 x 3 ) 0 x 3 x 2 | = − 8 x 1 | 5 0 x 3 x 2 | = − 40 x 1 x 2 . {\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}
このことから、 x 1 と x 2 が同じ符号を持つ 点の近傍では、 F の向きが反転することがわかります。この関数は、 x 1 = 0 または x 2 = 0 の近傍点を除き、 局所的に 反転可能です。直感的に言えば、点 (1, 2, 3)の周囲にある小さな物体に F を適用すると 、向きが反転した、体積が元の物体の約 40 × 1 × 2 = 80 倍の物体が得られます。
その他の用途
動的システム 形式 の 力学系 を考えます 。ここで は の 発展パラメータ （時間） に関する （成分ごとの）導関数であり、 は微分可能です。 の場合 、は 停留点 （ 定常状態 とも呼ばれます） です。 ハートマン・グロブマンの定理 により、停留点付近のシステムの挙動は の固有値、つまり停留点における のヤコビ行列に関係しています 。 [ 8 ] 具体 的には、すべての固有値の実部が負の場合、システムは停留点付近で安定しています。いずれかの固有値の実部が正の場合、その点は不安定です。固有値の実部が最大で 0 の場合、ヤコビ行列では安定性を評価できません。 [9] x ˙ = F ( x ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )} x ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}} x {\displaystyle \mathbf {x} } t {\displaystyle t} F : R n → R n {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} F ( x 0 ) = 0 {\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})=0} x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} J F ( x 0 ) {\displaystyle \mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)} F {\displaystyle F}
ニュートン法 連立非線形方程式の正方行列は、 ニュートン法 によって反復的に解くことができます。この方法では、連立方程式のヤコビ行列が用いられます。
回帰と最小二乗法 ヤコビアンは、統計的 回帰分析 や 曲線フィッティング における線形化 計画行列として用いられます。 非線形最小二乗法 を参照 。ヤコビアンは、ランダム行列、モーメント、局所感度、統計診断にも用いられます。 [10] [11]
参照
注記 ^ x における微分可能性は、 x におけるすべての1階偏微分の存在を意味するが 、それによって意味されるわけではないので、より強い条件である。
参考文献 ^ 「ヤコビアン - オックスフォード辞書による英語でのヤコビアンの定義」 オックスフォード辞書 - 英語 。2017年12月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年 5月2日 閲覧 。 ^ 「ヤコビアンの定義」 Dictionary.com . 2017年12月1日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2018年 5月2日 閲覧。 ^ Team, Forvo. 「ヤコビアン発音：英語でヤコビアンの発音方法」 forvo.com . 2018年 5月2日 閲覧 。 ^ W., Weisstein, Eric. 「ヤコビアン」. mathworld.wolfram.com . 2017年11月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年 5月2日 閲覧 。 {{cite web }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )^ ホルダー、アレン、アイヒホルツ、ジョセフ (2019). 計算科学入門 . オペレーションズ・リサーチ＆マネジメント・サイエンス国際シリーズ. シャム、スイス: シュプリンガー. p. 53. ISBN 978-3-030-15679-4 。 ^ ラヴェット、スティーブン (2019-12-16). 多様体の微分幾何学. CRC Press. p. 16. ISBN 978-0-429-60782-0 。 ^ ジョエル・ハス、クリストファー・ハイル、モーリス・ウィアー著 『トーマス微積分学 超越論初期版』第14版 。ピアソン社、2018年、959頁。 ^ Arrowsmith, DK; Place, CM (1992). 「線形化定理」. 動的システム：微分方程式、写像、そしてカオス的挙動 . ロンドン: Chapman & Hall. pp. 77– 81. ISBN 0-412-39080-9 。 ^ ハーシュ、モリス、スメール、スティーブン（1974年） 『微分方程式、動的システム、線形代数 』アカデミック出版、 ISBN 0-12-349550-4 。 ^ Liu, Shuangzhe; Leiva, Victor; Zhuang, Dan; Ma, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (2022年3月). 「行列微分計算とその多変量線形モデルへの応用とその診断法」. Journal of Multivariate Analysis . 188 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 . ^ 劉双哲;トレンクラー、ゲッツ。コロ、トゥヌ。フォン・ローゼン、ディートリッヒ。バクサラリー、オスカー・マリア（2023）。 「ハインツ・ノイデッカー教授と行列微分積分」。 統計論文 。 65 (4): 2605–2639 。 土井 :10.1007/s00362-023-01499-w。 S2CID 263661094。
さらに読む
外部リンク 「ヤコビアン」 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] Mathworld ヤコビアンについてのより技術的な説明
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\\0&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa65d1468f708523b59d40d670c0f658fc47cd27)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3f552a25d35d3123ffd35fe7e3fae447ff8a73)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbf63bf743435a744480c67f76f60e071c345a6)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8cdd61024fb8153b850520350a6a90648e454a9)
