勾配

ベクトル解析では、複数の変数を持つスカラー値の微分可能関数の勾配は、ある点におけるその値が方向と最も速い増加率を与えるベクトル場（またはベクトル値関数）です。勾配は、変数空間の基底の変更によってベクトルのように変換されます。関数の勾配が点でゼロでない場合、勾配の方向は関数がから最も速く増加する方向であり、勾配の大きさはその方向の増加率、つまり絶対方向導関数の最大です。^[1]さらに、勾配がゼロベクトルである点は、停留点として知られています。したがって、勾配は最適化理論で基本的な役割を果たし、勾配降下法によって関数を最小化するために使用されます。座標フリーの用語で、関数の勾配は次のように定義できます。 $f$ $\nabla f$ $p$ $f$ $p$ $p$ $f(\mathbf {r} )$

$df=\nabla f\cdot d\mathbf {r}$

ここで、は微小変位に対するの微小変化の総量であり、が勾配の方向にあるときに最大となることがわかります。ナブラ記号は逆三角形で書かれ、「デル」と発音され、ベクトル微分演算子を表します。 $df$ $f$ $d\mathbf {r}$ $d\mathbf {r}$ $\nabla f$ $\nabla$

基底ベクトルが位置の関数ではない座標系を使用する場合、勾配はベクトル^[a]で与えられ、その成分はにおけるの偏微分である。^[2]つまり、に対して、その勾配はn次元空間の点でベクトル^{[b]として定義される。} $f$ $p$ $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $p=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

$\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}$ 。

上記の勾配の定義は、関数がで微分可能な場合にのみ定義されることに注意してください。偏微分があらゆる方向に存在するにもかかわらず、微分不可能な関数も存在します。さらに、偏微分ベクトルとしてのこの定義は、座標系の基底がで直交している場合にのみ有効です。他の基底の場合は、その点における計量テンソルを考慮する必要があります。 $f$ $f$ $p$

例えば、関数は、原点においてでない限り、どの方向でも偏導関数が明確に定義されているにもかかわらず、明確に定義された接平面を持たないため、原点で微分可能ではありません。^[3]この特定の例では、xy座標系の回転により、上記の勾配の式はベクトルのように変換できず（勾配は座標系の基底の選択に依存する）、方向によっては「最急上昇」を指すこともできません。勾配の式が成り立つ微分可能関数の場合、基底の変換により常にベクトルとして変換され、常に最速の増加を指すことが示されます。 $f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$ $f(0,0)=0$

勾配は全微分と双対です。つまり、ある点における勾配の値は接ベクトル（各点におけるベクトル）であり、ある点における微分は共接ベクトル（ベクトル上の線型関数）です。^[c]これらは、ある点におけるの勾配と別の接ベクトルとのドット積が、に沿った関数のにおけるの方向微分に等しいという点で関連しています。つまり、です。勾配は、多様体上のより一般的な関数へと複数の一般化が可能です。「一般化」の項を参照してください。 $df$ $f$ $p$ $\mathbf {v}$ $f$ $p$ $\mathbf {v}$ ${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$

モチベーション

温度がスカラー場 $T$ によって与えられる部屋を考えてみましょう。各点 $(x, y, z)$ における温度は、時間に依存しない $T (x, y, z)$ です。部屋の各点における $T$ $の勾配は、温度が最も速く上昇する方向、つまり(x, y, z)$ から離れる方向を示します。勾配の大きさによって、その方向における温度の上昇速度が決まります。

$点(x, y)$ における海抜の高さが $H (x, y)$ である面を考えます。ある点における $H$ の勾配は、その点における最も急な傾斜または勾配の方向を指す平面ベクトルです。その点における傾斜の急さは、勾配ベクトルの大きさによって表されます。

勾配は、ドット積を取ることで、最も大きな変化の方向だけでなく、他の方向におけるスカラー場の変化を測定するのにも使用できます。丘の最も急な斜面が 40% だとします。まっすぐに上り坂に続く道路の勾配は 40% ですが、丘を斜めに迂回する道路の勾配は緩やかになります。たとえば、道路が上り坂の方向から 60° の角度にある場合 (両方向を水平面に投影した場合)、道路に沿った勾配は、勾配ベクトルと道路に沿った単位ベクトルのドット積になります。ドット積は、道路に沿った単位ベクトルが最も急な斜面^{[d]とどの程度一致しているかを測定するものであり、これは 60° の}コサインの40% 倍、つまり 20% です。

より一般的には、丘の高さの関数 $H$ が微分可能な場合、単位ベクトルを点線で結んだ $H$ の勾配は、ベクトルの方向の丘の傾斜、つまり単位ベクトルに沿った $H$ の方向微分を与えます。

表記

点における関数の勾配は通常と表記されます。また、次のいずれかで表されることもあります。 $f$ $a$ $\nabla f(a)$

${\vec {\nabla }}f(a)$ : 結果のベクトル性質を強調します。
$\operatorname {grad} f$
$\partial _{i}f$ および:アインシュタイン表記法で表され、繰り返されるインデックス ( $i$ ) は全体で合計されます。 $f_{i}$

意味

関数 $f (x, y) = -(cos 2 x + cos 2 y) 2$ の勾配を、下面上に投影されたベクトル場として示します。

スカラー関数 $f (x 1, x 2, x 3, \dots, x n)の勾配（または勾配ベクトル場）は$ $、 \nabla f$ または $\nabla \to f$ と表記されます。ここで $、 \nabla$ ( nabla ) はベクトル微分演算子 delを表します。grad $f$ $という$ 表記も勾配を表すのによく用いられます。 $f$ の勾配は、任意のベクトル $v$ と各点 $x$ におけるドット積が $v$ に沿った $f$ の方向微分となるような唯一のベクトル場として定義されます。つまり、

${\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=D_{\mathbf {v} }f(x)$

ここで右辺は方向微分であり、その表現方法は数多くあります。正式には、微分は勾配と双対です。微分との関係を参照してください。

関数が時間などのパラメータにも依存する場合、勾配は多くの場合、その空間導関数のベクトルのみを参照します ( 「空間勾配」を参照)。

勾配ベクトルの大きさと方向は特定の座標表現に依存しない。^[4]^[5]

直交座標

ユークリッド計量を持つ3次元直交座標系では、勾配が存在する場合、勾配は次のように与えられる。

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,$

ここで、 $i$ 、 $j$ 、 $kはそれぞれ$ $x$ 、 $y$ 、 $z$ 座標方向の標準単位ベクトルである。例えば、関数の勾配は $f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$ $\nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .$ $\nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.$

いくつかのアプリケーションでは、勾配をその成分の直角座標系の行ベクトルまたは列ベクトルとして表すのが慣例です。この記事では、勾配が列ベクトル、導関数が行ベクトルであるという慣例に従います。

円筒座標と球座標

円筒座標では、勾配は次のように表される: ^[6]

$\nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},$

ここで、 $ρ$ は軸距離、 $φ$ は方位角、 $z$ は軸座標、 $e ρ$ 、 $e φ$ 、 $e z$ は座標方向を指す単位ベクトルです。

ユークリッド計量を持つ球座標では、勾配は次のように与えられる: ^[6]

$\nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },$

ここで、 $r$ は半径距離、 $φ$ は方位角、 $θ$ は極角であり、 $e r$ 、 $e θ$ 、 $e φ$ は座標方向を指すローカル単位ベクトルです（つまり、正規化された共変基底）。

他の直交座標系における勾配については、「直交座標（3次元の微分演算子）」を参照してください。

一般座標

一般座標を考察します。これは $x 1, \dots, x i, \dots, x n$ と表記されます。ここで $n$ は定義域の次元数です。ここで、上付き添字は座標または成分のリスト内の位置を表します。つまり、 $x 2 は$ 2番目の成分を表し、量 $x の$ 2乗ではありません。添字変数 $i$ は任意の要素 $x i$ を表します。アインシュタイン記法を用いると、勾配は次のように表すことができます。

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}$ （その双対はであることに注意）、 ${\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$

ここで、およびはそれぞれ正規化されていない局所共変基底と反変基底を参照し、は逆計量テンソルであり、アインシュタインの総和規則はi とjにわたる総和を意味します。 $\mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}$ $\mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}$ $g^{ij}$

座標が直交している場合は、スケール係数（ラメ係数とも呼ばれる）を使用して、勾配（および微分）を正規化された基数（および）で簡単に表すことができます。 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ ${\hat {\mathbf {e} }}^{i}$ $h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert$

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}$ （そして）、 ${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$

ここで、2つ以上の添え字の繰り返しを避けることができないため、アインシュタイン記法は使用できない。上限添え字と下限添え字を使用しているにもかかわらず、、、およびは反変でも共変でもない。 $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ $\mathbf {\hat {e}} ^{i}$ $h_{i}$

後者の式は、上記の円筒座標と球座標の式に評価されます。

デリバティブとの関係

全微分との関係

勾配は全微分（全微分）と密接に関連しており、互いに転置（双対）関係にあります。ベクトルは列ベクトルで表され、共ベクトル（線形写像）は行ベクトルで表されるという慣例を用いると、^[a]勾配と微分は、それぞれ同じ成分を持ちながら互いに転置関係にある列ベクトルと行ベクトルとして表されます。 $df$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\nabla f$ $df$

$\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};$ $df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.$

これらは両方とも同じ要素を持っていますが、どのような数学的対象を表すかが異なります。各点において、導関数は余接ベクトル、つまり（ベクトル）入力の与えられた微小な変化に対して（スカラー）出力がどれだけ変化するかを表す線形形式（または共ベクトル）です。一方、各点において、勾配は接ベクトル、つまり（ベクトル）入力の微小な変化を表します。記号で表すと、勾配は点における接空間の要素であり、導関数は接空間から実数への写像です。の各点における接空間は、ベクトル空間自体と「自然に」同一視^[e]することができ、同様に、各点における余接空間は共ベクトルの双対ベクトル空間と自然に同一視することができます。したがって、点における勾配の値は、単なる接ベクトルとしてではなく、元のにおけるベクトルと考えることができます。 $\nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ $df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ $\mathbb {R} ^{n}$

計算的には、接線ベクトルが与えられた場合、そのベクトルに導関数（行列として）を掛けることができます。これは、勾配とのドット積を取ることと同じです。 $(df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v$

微分または（外）微分

における点における微分可能関数の最良線形近似は、からへの線形写像であり、これはしばしばまたはで表され、におけるの微分または全微分と呼ばれる。に写像される関数はの全微分または外微分と呼ばれ、は微分1形式の例である。 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $x$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}$ $df_{x}$ $Df(x)$ $f$ $x$ $df$ $x$ $df_{x}$ $f$

単一変数関数の微分が関数のグラフの接線の傾きを表すのと同様に、^[7]複数変数関数の方向微分はベクトルの方向の接線超平面の傾きを表します。

勾配は、任意のに対する式によって微分と関連しています。ここで、はドット積です。ベクトルと勾配のドット積を取ることは、ベクトルに沿って方向微分を取ることと同じです。 $(\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)$ $v\in \mathbb {R} ^{n}$ $\cdot$

を（次元）の列ベクトル（実数）の空間とみなすと、を要素を持つ行ベクトルとみなすことができ、は行列の乗算によって与えられる。の標準ユークリッド計量を仮定すると、勾配は対応する列ベクトル、すなわち、 $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ $df$ $\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),$ $df_{x}(v)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $(\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.$

関数の線形近似

関数の最良線形近似は、微分ではなく勾配で表すことができます。ユークリッド空間からへの関数の勾配は、における任意の点においてへの最良線形近似を特徴づけます。近似は次のようになります。 $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}$ $x_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f$ $x_{0}$

$f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})$

の近傍において、はにおけるの勾配、ドットはにおけるドット積を表します。この式は、におけるの多変数テイラー級数展開の最初の2項に相当します。 $x$ $x_{0}$ $(\nabla f)_{x_{0}}$ $f$ $x_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f$ $x_{0}$

との関係フレシェ導関数

$U を$ $R$ $n$ の開集合とする。関数 $f$ $:$ $U$ $\to$ $Rが微分可能ならば、$ $f$ の微分は $f$ のフレシェ微分である。したがって、 $\nabla$ $fは$ $U$ から空間 $R$ $n$ への関数であり、 · は内積である。 $\lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,$

結果として、勾配は微分そのものではなく、むしろ微分の双対であるにもかかわらず、微分の通常の特性は勾配にも当てはまります。

直線性: 勾配は線形であり、 $f$ $と$ g $が$ 点 $a\inRn で$ 微分可能な2つの実数値関数であり、 $α$ と $β$ が2つの定数である場合、 $αf + βgは$ $a$ $で$ 微分可能であり、さらに $\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).$
積の法則: $f$ と $g$ が点 $a \in R n$ で微分可能な実数値関数である場合、積の法則によれば積 $fgは$ $a$ で微分可能であり、 $\nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).$
チェーンルール: $f : A \to R が$ $R$ $n$ の部分集合 $A$ 上で定義された実数値関数であり、 $f が$ 点 $a$ で微分可能であるとする。勾配に適用される連鎖律には2つの形式がある。まず、関数 $g$ が媒介変数曲線であるとする。つまり、関数 $g$ $:$ $I$ $\to$ $R$ $n$ は部分集合 $I$ $\subset$ $Rを$ $R$ $n$ に写す。g $が$ 点 $c$ $\in$ $Iで微分可能であり、$ $g$ $($ $c$ $) =$ $a$ となる場合、 ∘ は合成演算子である： $($ $f$ $\circ$ $g$ $)($ $x$ $) =$ $f$ $($ $g$ $($ $x$ $))$ 。 $(f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),$

より一般的には、I⊂Rkの場合には $、次$ が成り立ちます。ここで $、$ $($ $Dg$ $)$ ^T $は$ 転置ヤコビ行列を表します。 $\nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},$

連鎖律の2番目の形式については、 $h : I \to R が$ $R$ の部分集合 $I$ 上の実数値関数であり、 $h が$ 点 $f$ $($ $a$ $) \in$ $I$ で微分可能であると仮定する。すると、 $\nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).$

その他の特性と用途

レベルセット

等値面または水平面は、ある関数が特定の値を持つすべての点の集合です。

$f が$ 微分可能であれば、点 x における勾配とベクトル v のドット積 (∇ f ) x ⋅ v は、xにおける $f$ の $v$ $方向の方向微分を与える$ $。$ したがって $、$ $この$ 場合、fの勾配 $は$ f $の$ 準位集合に直交する。例えば、3次元空間における平面は、 $F$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) =$ $c$ という形式で表される方程式で定義される。この場合、 $F$ の勾配は平面に対して垂直となる。

より一般的には、リーマン多様体における任意の埋め込み超曲面は、 $dF$ が0にならないような $F$ $($ $P$ $)=0$ の形の方程式によって切り出すことができる。この場合、 $F$ の勾配は超曲面に垂直である。

同様に、アフィン代数超曲面は、方程式 $F (x 1, ..., x n) = 0$ で定義されます。ここで、 $Fは多項式です。超曲面の特異点（これが特異点の定義です）では、$ $F$ の勾配はゼロになります。特異点ではない点では、 F の勾配は非ゼロの法線ベクトルになります。

保存ベクトル場と勾配定理

関数の勾配は勾配場と呼ばれます。（連続）勾配場は常に保存ベクトル場です。つまり、任意の経路に沿った線積分は経路の端点のみに依存し、勾配定理（線積分に関する微積分学の基本定理）によって評価できます。逆に、（連続）保存ベクトル場は常に関数の勾配です。

勾配は最も急な上り坂の方向です

点 $x$ における関数の勾配は、最も急な上昇の方向でもあります。つまり、方向微分が最大になります。 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

任意の単位ベクトルとする。方向微分は次のように定義される。 $v\in \mathbb {R} ^{n}$

$\nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+vh)-f(x)}{h}},$

関数をそのテイラー級数に代入すると、 $f(x+vh)$

$\nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x)+\nabla f\cdot vh+R)-f(x)}{h}},$

ここで、はの高次項を表します。 $R$ $vh$

をで割って極限をとると、コーシー・シュワルツの不等式^{[8]によって上から制限される項が得られる。} $h$

$|\nabla _{v}f(x)|=|\nabla f\cdot v|\leq |\nabla f||v|=|\nabla f|.$

を選択すると方向微分が最大になり、上限に等しくなります。 $v^{*}=\nabla f/|\nabla f|$

$|\nabla _{v^{*}}f(x)|=|(\nabla f)^{2}/|\nabla f||=|\nabla f|.$

一般化

ヤコビアン

ヤコビ行列は、複数の変数のベクトル値関数とユークリッド空間間、あるいはより一般的には多様体間の微分可能写像の勾配の一般化である。^[9]^[10]バナッハ空間間の関数のさらなる一般化はフレシェ微分である。

$f : R n \to R m が$ 、その1階偏微分がそれぞれ $R n$ 上に存在するような関数であるとする。このとき、 $f$ のヤコビ行列は $m \times n$ 行列と定義され、または単にと表記される。 $($ $i$ $,$ $j$ $)$ 番目の要素はである。明示的に $\mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )$ $\mathbf {J}$ ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$ $\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.$

ベクトル場の勾配

ベクトル場の全微分はベクトルからベクトルへの線形写像であるため、テンソル量です。

直交座標では、ベクトル場 $f = (f 1 、 f 2 、 f 3)$ の勾配は次のように定義されます。

$\nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},$

（ここでアインシュタインの和記法が用いられ、ベクトル $e$ $i$ と $e$ $k$ のテンソル積は(2,0)型の二項テンソルである）。全体として、この式はヤコビ行列の転置に等しい。

${\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.$

曲線座標、またはより一般的には曲がった多様体では、勾配にはクリストッフェル記号が含まれます。

$\nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},$

ここで、 $g jk$ は逆計量テンソルの成分であり、 $e i$ は座標基底ベクトルです。

より不変的に表現すると、ベクトル場 $f$ の勾配はレヴィ・チヴィタ接続と計量テンソルによって定義できる。 ^[11]

$\nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},$

ここで $\nabla c$ は接続です。

リーマン多様体

リーマン多様体 $($ $M$ $,$ $g$ $)上の任意の$ 滑らかな関数 $f$ に対して、 $f$ の勾配は任意のベクトル場 $X$ に対してとなるベクトル場 $\nabla$ $f$ です。つまり、 $g$ $x$ $( , )$ は計量 $gで定義される$ $x$ における接ベクトルの内積を表し、 $\partial$ $X$ $f$ は任意の点 $x$ $\in$ $M$ を方向 $X$ の方向微分に取る関数であり、 x で評価されます $。$ 言い換えると、 $M$ の開集合から $R$ $n$ の開集合への座標チャート $φ$ において、 $(\partial$ $X$ $f$ $)($ $x$ $)$ $は$ 次のように与えられます。ここで、 $X$ $j$ は、この座標チャートの $Xの$ $j$ 番目の成分を表します。 $g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,$ $g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),$ $\sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},$

したがって、勾配のローカル形式は次の形式になります。

$\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.$

$M = R n$ の場合を一般化すると、関数の勾配はその外微分と関連している。より正確には、勾配 $\nabla$ $fは、計量$ $g$ によって定義される音楽同型（「シャープ」と呼ばれる）を用いて微分1形式 $dfに関連付けられたベクトル場である。R$ $n$ $上の関数の外微分と勾配$ の関係は、この関係の特殊なケースであり、計量はドット積によって与えられる平坦計量である。 $(\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).$ $\sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM$

参照

カール – ベクトル場における循環密度
発散 – ベクトル計算におけるベクトル演算子
4つの勾配 – 勾配演算の4つのベクトルの類似
ヘッセ行列 – 2次導関数の行列
傾斜勾配
空間勾配 – 成分が空間微分である勾配

注記

^ abこの記事では、列ベクトルはベクトルを表し、行ベクトルは共ベクトルを表すという規則を使用していますが、逆の規則も一般的です。
^ 厳密に言えば、勾配はベクトル場であり、ある点における勾配の値は、その点における接空間の接ベクトルであり、元の空間のベクトルではありません。しかし、すべての接空間は自然に元の空間と同一視できるため、これらを区別する必要はありません。§ 定義および微分との関係を参照してください。 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to T\mathbb {R} ^{n}$ $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$
^ ある点における勾配の値は元の空間のベクトルとして考えることができますが、ある点における導関数の値は元の空間上の共ベクトル、つまり線型写像として考えることができます。 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$
^ 道路と最も急な斜面の間の角度が 0°、つまり両者が完全に一直線になっている場合、ドット積 (丘の周りの道路の傾斜) は 40% になります。また、角度が 90°、つまり道路が最も急な斜面に対して垂直になっている場合は平坦になります。
^ 非公式には、「自然に」識別されるということは、恣意的な選択をすることなく識別できることを意味します。これは自然変換によって形式化できます。

参考文献

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さらに読む

コーン、テレサ・M. ; コーン、グラニーノ・アーサー (2000). 『科学者とエンジニアのための数学ハンドブック：定義、定理、公式の参照とレビュー』ドーバー出版. pp. 157– 160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234。

外部リンク

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ワイスタイン、エリック・W.「グラデーション」。マスワールド。

[row-column-2] この記事では、列ベクトルはベクトルを表し、行ベクトルは共ベクトルを表すという規則を使用していますが、逆の規則も一般的です。

[4] 厳密に言えば、勾配はベクトル場であり、ある点における勾配の値は、その点における接空間の接ベクトルであり、元の空間のベクトルではありません。しかし、すべての接空間は自然に元の空間と同一視できるため、これらを区別する必要はありません。§ 定義および微分との関係を参照してください。 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to T\mathbb {R} ^{n}$ $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

[6] ある点における勾配の値は元の空間のベクトルとして考えることができますが、ある点における導関数の値は元の空間上の共ベクトル、つまり線型写像として考えることができます。 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

[7] 道路と最も急な斜面の間の角度が 0°、つまり両者が完全に一直線になっている場合、ドット積 (丘の周りの道路の傾斜) は 40% になります。また、角度が 90°、つまり道路が最も急な斜面に対して垂直になっている場合は平坦になります。

[11] 非公式には、「自然に」識別されるということは、恣意的な選択をすることなく識別できることを意味します。これは自然変換によって形式化できます。

[1] 
バックマン（2007年、77ページ）
ダウニング（2010年、316～317ページ）
クライシグ（1972年、309ページ）
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スウォコウスキー他（1994年、1036、1038-1039頁）

[7] バックマン（2007年、77ページ）

[8] ダウニング（2010年、316～317ページ）

[9] クライシグ（1972年、309ページ）

[10] マグロウヒル（2007年、196ページ）

[11] モイーズ（1967年、684ページ）

[12] プロッターとモーリー (1970、p. 715)

[13] スウォコウスキー他（1994年、1036、1038-1039頁）

[3] 
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[15] バックマン（2007年、76ページ）

[16] ボーリガードとフレイリー (1973、p. 84)

[17] ダウニング（2010年、316ページ）

[18] ハーパー（1976年、15ページ）

[19] クライシグ（1972年、307ページ）

[20] マグロウヒル（2007年、196ページ）

[21] モイーズ（1967年、683ページ）

[22] プロッターとモーリー (1970、p. 714)

[23] スウォコウスキーら（1994年、1038ページ）

[5] 「微分不可能な関数は不連続な偏微分を持つ必要がある - Math Insight」. mathinsight.org . 2023年10月21日閲覧。

[8] クライスツィヒ (1972、pp. 308–309)

[9] ストーカー（1969年、292ページ）

[Schey-1992-10] Schey、1992、139–142。

[12] プロッターとモーリー (1970, pp. 21, 88)

[13] T. アレンズ (2022).数学 (第 5 版)。シュプリンガー・スペクトラム・ベルリン。土井：10.1007/978-3-662-64389-1。ISBN 978-3-662-64388-4。

[14] Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 87, 248)

[15] クライスツィヒ (1972, pp. 333, 353, 496)

[16] ドゥブロビン、フォメンコ、ノヴィコフ、1991 年、348–349 ページ。