Generalization of the concept of directional derivative
数学 において 、 ガトー微分（ガトー こうぶん、英: Gateaux differential）は、 微分積分学 における 方向微分 の概念の一般化である 。 ルネ・ガトーにちなんで名付けられ、 バナッハ空間 などの 局所凸位相 ベクトル空間 間の関数に対して定義される 。バナッハ空間上の フレシェ微分と同様に、ガトー微分は 変分積分学 や 物理学 で一般的に用いられる 関数微分 を形式化するためにしばしば用いられる 。
他の形式の微分とは異なり、関数のガトー微分は 非線形作用素 となり得る。しかし、ガトー微分の定義では、 連続線型変換 であることも求められることが多い。Tikhomirov (2001) などの著者は、ガトー微分（非線形となる可能性もある）とガトー微分（線型であると仮定）をさらに区別している。ほとんどの応用において、連続線型性は、例えば無限次元正則性の 文脈 における 複素微分可能 性や非線型解析における 連続微分可能性 といった、特定の設定に自然に備わった、より原始的な条件から導かれる。
意味 と が 局所凸位相 ベクトル空間 （例えば バナッハ空間 ）で あり、 が開空間であり、 の 方向における ガトー 微分は 次のように定義される。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} F : U → Y . {\displaystyle F:U\to Y.} d F ( u ; ψ ) {\displaystyle dF(u;\psi )} F {\displaystyle F} u ∈ U {\displaystyle u\in U} ψ ∈ X {\displaystyle \psi \in X}
d F ( u ; ψ ) = lim τ → 0 F ( u + τ ψ ) − F ( u ) τ = d d τ F ( u + τ ψ ) | τ = 0 {\displaystyle dF(u;\psi )=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}} 1
すべてに対して極限が存在する場合、 ガトー微分可能 と言える。 ψ ∈ X , {\displaystyle \psi \in X,} F {\displaystyle F} u . {\displaystyle u.}
（ 1 ）に現れる極限は の位相に対して取られる。 と が 実 位相ベクトル空間である 場合 、極限は実 に対して取られる。 一方、 と が 複素 位相ベクトル空間である場合、上記の極限は通常、 複素微分可能性 の定義にあるように 複素平面 上で のように取られる 。 場合によっては、強い極限の代わりに 弱い極限 が取られ、これは弱いガトー微分の概念につながる。 Y . {\displaystyle Y.} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} τ . {\displaystyle \tau .} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} τ → 0 {\displaystyle \tau \to 0}
直線性と連続性 各点において ガトー微分は関数を定義する。 u ∈ U , {\displaystyle u\in U,} d F ( u ; ⋅ ) : X → Y . {\displaystyle dF(u;\cdot ):X\to Y.}
この関数は、すべてのスカラーに対して同次であるという意味で同次である。 α , {\displaystyle \alpha ,} d F ( u ; α ψ ) = α d F ( u ; ψ ) . {\displaystyle dF(u;\alpha \psi )=\alpha dF(u;\psi ).\,}
しかし、この関数は加法的である必要はないため、 フレシェ微分と は異なり、ガトー微分は線形ではない可能性がある。線形であっても、とが無限次元の 場合（つまり、 が 非有界線形作用素 の場合） 、 に連続的に依存しない可能性がある。さらに、 において線形かつ連続で ある ガトー微分については、の 連続微分可能性 を定式化する非同値な方法が複数存在する 。 ψ {\displaystyle \psi } X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} d F ( u ; ⋅ ) {\displaystyle dF(u;\cdot )} ψ , {\displaystyle \psi ,}
たとえば、次 のように定義される 2 つの実変数の
実数値関数を考えます 。これは、 でガトー微分可能であり 、その微分は
です 。ただし、これは連続ですが、引数では線形ではありません。 無限次元では、 上の 任意の不連続線形関数 はガトー微分可能ですが、 でのそのガトー微分は 線形ですが連続ではありません。 F {\displaystyle F} F ( x , y ) = { x 3 x 2 + y 2 if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) , 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) . {\displaystyle F(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0),\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} d F ( 0 , 0 ; a , b ) = { F ( τ a , τ b ) − 0 τ ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) , 0 ( a , b ) = ( 0 , 0 ) = { a 3 a 2 + b 2 ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) , 0 ( a , b ) = ( 0 , 0 ) . {\displaystyle dF(0,0;a,b)={\begin{cases}{\dfrac {F(\tau a,\tau b)-0}{\tau }}&(a,b)\neq (0,0),\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0),\\0&(a,b)=(0,0).\end{cases}}} ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).} X {\displaystyle X} 0 {\displaystyle 0}
フレシェ導関数との関係
がフレシェ微分可能ならば 、ガトー微分可能でもあり、そのフレシェ微分とガトー微分は一致する。逆は明らかに真ではない。なぜなら、ガトー微分は線形または連続ではない可能性があるからである。実際、ガトー微分は線形かつ連続であるにもかかわらず、フレシェ微分が存在しない可能性さえある。 F {\displaystyle F}
しかしながら、複素 バナッハ空間 から 別の複素バナッハ空間への 関数については、 ガトー微分（極限は 複素微分可能性 の定義 のように、複素 上でゼロに近づく ）は自動的に線型であり、これはZorn (1945) の定理である。さらに、 が （複素）ガトー微分可能で、各 で 微分
可能であるなら ば、 はフレシェ微分可能で 、フレシェ微分 可能である（Zorn 1946）。これは、 関数が開集合上で複素微分可能であるならば 解析的であるという、基本的な 複素解析 から得られる結果と類似しており、 無限次元正則性 の研究における基本的な結果である 。 F {\displaystyle F} X {\displaystyle X} Y , {\displaystyle Y,} τ {\displaystyle \tau } F {\displaystyle F} u ∈ U {\displaystyle u\in U} D F ( u ) : ψ ↦ d F ( u ; ψ ) {\displaystyle DF(u)\colon \psi \mapsto dF(u;\psi )} F {\displaystyle F} U {\displaystyle U} D F {\displaystyle DF}
連続微分可能性
連続ガトー微分可能性は、2つの非同値な方法で定義できます。 が 開集合の各点でガトー微分可能であると仮定します。 における連続微分可能性の概念の一つは、積 空間への写像が 連続で ある ことを必要とします。線形性を仮定する必要はありません。 と がフレシェ空間である 場合 、 は 自動的に有界かつ線形となり、すべての に対して成り立ちます (Hamilton 1982)。 F : U → Y {\displaystyle F\colon U\to Y} U . {\displaystyle U.} U {\displaystyle U} d F : U × X → Y {\displaystyle dF\colon U\times X\to Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} d F ( u ; ⋅ ) {\displaystyle dF(u;\cdot )} u {\displaystyle u}
連続微分可能性のより強い概念は、 が から への連続線形関数の空間への連続写像であることを要求する。 これ は、 の 線形性をすでに前提としていることに注意する 。 u ↦ D F ( u ) {\displaystyle u\mapsto DF(u)} U → L ( X , Y ) {\displaystyle U\to L(X,Y)} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} Y . {\displaystyle Y.} D F ( u ) . {\displaystyle DF(u).}
技術的な便宜上、後者の連続微分可能性の概念は、空間 と が バナッハである場合に典型的（ただし普遍的ではない）である。なぜなら、 もバナッハであり、その場合、関数解析の標準的な結果を適用できるからである。前者は、関係する関数空間が必ずしもバナッハ空間ではない非線型解析の分野でより一般的な定義である。例えば、 フレシェ空間における微分は、 対象となる関数空間がしばしば 多様体 上の 滑らかな関数で構成される ナッシュ・モーザー逆関数定理 などの応用がある 。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} L ( X , Y ) {\displaystyle L(X,Y)}
高階微分 高階のフレシェ微分は反復法によって自然に 多重線型関数 として定義されるが、同型性を用いると 高階のガトー微分はこのように定義できない。代わりに、 関数の方向への 階ガトー微分は 次のように定義される。 L n ( X , Y ) = L ( X , L n − 1 ( X , Y ) ) , {\displaystyle L^{n}(X,Y)=L(X,L^{n-1}(X,Y)),} n {\displaystyle n} F : U ⊆ X → Y {\displaystyle F:U\subseteq X\to Y} h {\displaystyle h}
d n F ( u ; h ) = d n d τ n F ( u + τ h ) | τ = 0 . {\displaystyle d^{n}F(u;h)=\left.{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}F(u+\tau h)\right|_{\tau =0}.} 2
これは多重線形関数ではなく、 次数の 同次関数 である。 n {\displaystyle n} h . {\displaystyle h.}
高階微分の定義には別の候補があり、関数
D 2 F ( u ) { h , k } = lim τ → 0 D F ( u + τ k ) h − D F ( u ) h τ = ∂ 2 ∂ τ ∂ σ F ( u + σ h + τ k ) | τ = σ = 0 {\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {DF(u+\tau k)h-DF(u)h}{\tau }}=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau \,\partial \sigma }}F(u+\sigma h+\tau k)\right|_{\tau =\sigma =0}} 3
は、少なくとも が スカラー値である特別な場合においては 、変分法において の 第二変分 として自然に生じる。しかし、これは と において別々に同次であること以外には、全く合理的な性質を持たない可能性がある。が と の対称 双線形関数であり 、 の分極と 一致する ことを保証するため の十分な条件が満たされていることが望ましい。 F , {\displaystyle F,} F {\displaystyle F} h {\displaystyle h} k . {\displaystyle k.} D 2 F ( u ) { h , k } {\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}} h {\displaystyle h} k , {\displaystyle k,} d n F . {\displaystyle d^{n}F.}
例えば、次の十分条件が成立する（Hamilton 1982）。 は 積位相 において 写像が連続であるという意味で
連続で あり、さらに（ 3 ）で定義される2階微分 も が連続であるという意味で連続である
とする 。すると は 双線型かつ において対称となる。双線型性により、2階微分と 微分 を 関連付ける分極恒等式が成立する。 同様 の結論が高階微分についても成立する。 F {\displaystyle F} C 1 {\displaystyle C^{1}} D F : U × X → Y {\displaystyle DF:U\times X\to Y} D 2 F : U × X × X → Y {\displaystyle D^{2}F:U\times X\times X\to Y} D 2 F ( u ) { h , k } {\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}} h {\displaystyle h} k . {\displaystyle k.} D 2 F ( u ) { h , k } = 1 2 d 2 F ( u ; h + k ) − d 2 F ( u ; h ) − d 2 F ( u ; k ) {\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}={\frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)} D 2 F ( u ) {\displaystyle D^{2}F(u)} d 2 F ( u ; − ) . {\displaystyle d^{2}F(u;-).}
プロパティ 微積分学の基本定理 の一種は、 与えられた ガトー微分が 十分連続的に微分可能であると仮定した場合に成立する。具体的には、 F , {\displaystyle F,} F {\displaystyle F}
がガトー導関数の意味で連続関数である と 仮定します。 すると任意の および に対して、 積分 は ゲルファント・ペティス積分 （弱積分）（Vainberg (1964)）になります。 F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} C 1 {\displaystyle C^{1}} d F : U × X → Y . {\displaystyle dF:U\times X\to Y.} u ∈ U {\displaystyle u\in U} h ∈ X , {\displaystyle h\in X,} F ( u + h ) − F ( u ) = ∫ 0 1 d F ( u + t h ; h ) d t {\displaystyle F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}dF(u+th;h)\,dt} 多重線性や高階微分の可換性など、微分に関する他の多くのよく知られた性質は、このことから導かれます。さらに、基本定理から導かれる以下の性質も挙げられます。
( 連鎖律 ) は すべておよびに対して成り立ちます。 (重要なのは、単純な 偏微分 と同様に 、ガトー微分は、 微分が不連続であることが許される場合、連鎖律を満たさ ないということです。) d ( G ∘ F ) ( u ; x ) = d G ( F ( u ) ; d F ( u ; x ) ) {\displaystyle d(G\circ F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))} u ∈ U {\displaystyle u\in U} x ∈ X . {\displaystyle x\in X.} （ 剰余を含む テイラーの定理 ） と の間の線分が 完全に 内にあると仮定する。 が ならば 、 剰余項は次のように与えられる。 u ∈ U {\displaystyle u\in U} u + h {\displaystyle u+h} U . {\displaystyle U.} F {\displaystyle F} C k {\displaystyle C^{k}} F ( u + h ) = F ( u ) + d F ( u ; h ) + 1 2 ! d 2 F ( u ; h ) + ⋯ + 1 ( k − 1 ) ! d k − 1 F ( u ; h ) + R k {\displaystyle F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{\frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}} R k ( u ; h ) = 1 ( k − 1 ) ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) k − 1 d k F ( u + t h ; h ) d t {\displaystyle R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h)\,dt}
例 をユークリッド 空間の ルベーグ可測集合 上の 平方積分関数 の ヒルベルト空間 とする。 関数 は 実 変数の 実 数値関数であり、 実数値で 定義され、ガトー微分を持つ。 X {\displaystyle X} Ω {\displaystyle \Omega } R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} E : X → R {\displaystyle E:X\to \mathbb {R} } E ( u ) = ∫ Ω F ( u ( x ) ) d x {\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F(u(x))\,dx} F {\displaystyle F} u {\displaystyle u} Ω {\displaystyle \Omega } d E ( u ; ψ ) = ⟨ F ′ ( u ) , ψ ⟩ := ∫ Ω F ′ ( u ( x ) ) ψ ( x ) d x . {\displaystyle dE(u;\psi )=\langle F'(u),\psi \rangle :=\int _{\Omega }F'(u(x))\,\psi (x)\,dx.}
実際、上記 は τ → 0 {\displaystyle \tau \to 0} E ( u + τ ψ ) − E ( u ) τ = 1 τ ( ∫ Ω F ( u + τ ψ ) d x − ∫ Ω F ( u ) d x ) = 1 τ ( ∫ Ω ∫ 0 1 d d s F ( u + s τ ψ ) d s d x ) = ∫ Ω ∫ 0 1 F ′ ( u + s τ ψ ) ψ d s d x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \,\psi )\,dx-\int _{\Omega }F(u)\,dx\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\,\tau \,\psi )\,ds\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}F'(u+s\tau \psi )\,\psi \,ds\,dx.\end{aligned}}}
参照
参考文献
Gateaux、René (1913)、「Sur les fonctionnelles continue et les fonctionnelles Analytiques」、 Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences 、 157 、パリ: 325–327 、 2012 年 9 月 2 日 取得 。 Gateaux、René (1919)、「独立した変数の無限大の関数」、 フランス数学学会紀要 、 47 : 70–96 、 doi : 10.24033/bsmf.995 。 ハミルトン, RS (1982)、「ナッシュとモーザーの逆関数定理」、 アメリカ数学会誌 、 7 (1): 65– 222、 doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 、 MR 0656198 Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Function analysis and semi-groups , Providence, RI: American Mathematical Society , MR 0423094 。 ティホミロフ, VM (2001) [1994], 「ガトー変分法」, 数学百科事典 , EMS Press 。 Vainberg, MM (1964), 非線形作用素の研究のための変分法 、サンフランシスコ、ロンドン、アムステルダム: Holden-Day, Inc、p. 57 ゾルン、マックス （1945）、「バナッハ空間における解析関数の特徴づけ」、 数学年報 、第2集、 46 （4）： 585–593 、 doi ：10.2307/1969198、 ISSN 0003-486X、 JSTOR 1969198、 MR 0014190 。 ゾーン、マックス （1946）、「微分とフレシェ微分」、 アメリカ数学会報 、 52 （2）： 133-137 、 doi ： 10.1090/S0002-9904-1946-08524-9 、 MR 0014595 。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \,\psi )\,dx-\int _{\Omega }F(u)\,dx\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\,\tau \,\psi )\,ds\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}F'(u+s\tau \psi )\,\psi \,ds\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cbe3b61e9ab61ea1e72c5e1f419df23b6daf77)
