Statement relating differentiable symmetries to conserved quantities
エミー・ネーター の論文「不変変量問題」（1918年） の最初のページ。彼女はここで定理を証明した。 ネーターの定理は、 保存力 を伴う物理系の 作用 の すべての 連続対称性 には、対応する 保存則 があることを述べています。これは、 1918年に 数学者 エミー・ネーターによって発表された2つの定理（ ネーターの第2定理を参照）のうちの最初のものです。 [1] 物理系の作用は ラグランジアン 関数の 時間積分であり、これから系の挙動は 最小作用の原理 によって決定できます 。この定理は、 物理空間の連続的で滑らかな対称性 に適用されます。ネーターの定式化は非常に一般的であり、古典力学、高エネルギー物理学、最近では 統計力学 にわたって適用されています。 [2]
ネーターの定理は理論物理学 と 変分法 において用いられている 。この定理は、物理系の対称性と保存則との間の根本的な関係を明らかにする。また、この定理によって、現代の理論物理学者は物理系の対称性により一層注目するようになった。この定理は、 ラグランジアン力学と ハミルトン力学（それぞれ1788年と1833年に考案）における 運動定数 の定式化を一般化したものであり、ラグランジアンのみでモデル化できない系（例えば、 レイリー散逸関数 を持つ系）には適用されない。特に、 連続対称性 を持つ 散逸 系は、対応する保存則を持つ必要がない。 [3]
基本的なイラストと背景 例えば、物理系が空間内でどのように向いているかに関わらず同じ挙動を示す場合（つまり 不変で ある場合）、その ラグランジアン は連続回転に対して対称である。この対称性から、ノイマンの定理は、 系の運動法則の結果として、系の 角運動量が保存されることを指示する。 [4] : 126 物理系自体は対称である必要はない。宇宙空間で回転するギザギザの小惑星は、その非対称性にもかかわらず角運動量を保存する。対称なのは、その運動法則である。
別の例として、ある物理的プロセスが場所や時間に関係なく同じ結果を示す場合、そのラグランジアンはそれぞれ空間と時間の連続的な並進に対して対称である。ノイマンの定理によれば、これらの対称性は、それぞれこのシステム内の 線形運動量 と エネルギー の 保存則 を説明する。 [5] : 23 [6] : 261
ノイマンの定理は、保存則への洞察を与える点と、実用的な計算ツールとしての点の両方において重要である。これにより、研究者は物理系の観測された対称性から保存量（不変量）を決定することができる。逆に、研究者は与えられた不変量を持つ仮説的ラグランジアンのクラス全体を検討して物理系を記述することができる。 [4] : 127 例として、量 Xを保存する物理理論が提案されたとしよう。研究者は連続対称性を通して X を 保存するラグランジアンのタイプを計算できる 。ノイマンの定理により、これらのラグランジアンの特性は、新しい理論の意味を理解し、その適合性を判断するためのさらなる基準を提供する。
ネーターの定理には、一般性の程度が異なる多くのバージョンが存在する。この定理には、 ウォード・高橋恒等式で表される自然な量子対応が存在する。また、ネーターの定理の 超空間 への一般化も 存在する。 [7]
細かい技術的な点はさておき、ノイマンの定理は次のように非公式に述べることができます。
システムが連続対称性を持つ場合、対応する量の値は時間的に保存される。 [8]
体に関する定理のより洗練されたバージョンは、次のことを述べています。
局所的な作用によって生成される すべての連続的な 対称性には 保存される電流 が対応し、逆もまた同様です。
上記の記述における「対称性」という言葉は、より正確には、ある技術的基準を満たす 1次元 リー 変換群に関して物理法則がとる形の 共変性を指しています。 物理量 の 保存則は通常、 連続方程式 として表現されます 。
この定理の正式な証明は、不変性の条件を用いて、保存される物理量に関連する電流の式を導出する。現代の用語では、保存量は ノイザー電荷 と呼ばれ、その電荷を運ぶ流れは ノイザー電流 と呼ばれる。ノイザー電流は、 ソレノイド 型（発散のない）ベクトル場 まで 定義される。
重力の文脈では、 フェリックス・クライン の作用 I に対するノイマン定理の記述は不変量を規定している： [9]
積分 I が ρ パラメータを持つ連続群 G ρ の下で不変である場合、 ラグランジアン表現の ρ個の線形独立な組み合わせは発散になります。
コンセプトの簡単な説明と概要 座標対称性に関するノイマンの定理を示すグラフ ノイマンの定理の背後にある主要な考え方は、1 つの座標と連続的な対称性 (図の灰色の矢印) を持つシステムによって最も簡単に説明できます。 q {\displaystyle q} φ : q ↦ q + δ q {\displaystyle \varphi :q\mapsto q+\delta q}
システムの 運動法則 を満たす任意の軌道（図の太字部分）を考えてみましょう 。つまり、 このシステムを支配する 作用は、この軌道上では 定常で あり、つまり、軌道の局所的な 変化 によって変化しません。特に、時間区間 [ t 0 , t 1 ] において対称フローを適用するような変化に対しては変化せず 、その区間外では静止しています。軌道の連続性を維持するために、短い時間の「バッファリング」期間を設け、 区間間を徐々に遷移させます。 q ( t ) {\displaystyle q(t)} S {\displaystyle S} φ {\displaystyle \varphi } τ {\displaystyle \tau }
作用における全体的な変化は 、作用するすべての間隔によってもたらされる変化から構成される。変化自体が消滅する部分、すなわち の外側の部分は をもたらさない 。中間部分も作用を変化させない。なぜなら、その変換は 対称性であり、したがってラグランジアン と作用を保存するからである 。残る部分は「バッファリング」部分のみである。これらの領域では座標 と速度の両方 が変化するが、 だけ変化し、 バッファリングの時間範囲が小さい（極限まで取ると） ため、座標の 変化は比較的無視できるほど小さい 。したがって 。したがって、領域は主にその「傾斜」 を通じて寄与する 。 S {\displaystyle S} [ t 0 , t 1 ] {\displaystyle [t_{0},t_{1}]} Δ S {\displaystyle \Delta S} φ {\displaystyle \varphi } L {\displaystyle L} S = ∫ L {\textstyle S=\int L} q {\displaystyle q} q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} δ q / τ {\displaystyle \delta q/\tau } δ q {\displaystyle \delta q} τ {\displaystyle \tau } δ q / τ ≫ δ q {\displaystyle \delta q/\tau \gg \delta q} q ˙ → q ˙ ± δ q / τ {\displaystyle {\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau }
これによりラグランジアンは だけ変化し 、積分すると Δ L ≈ ( ∂ L / ∂ q ˙ ) Δ q ˙ {\displaystyle \Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}} Δ S = ∫ Δ L ≈ ∫ ∂ L ∂ q ˙ Δ q ˙ ≈ ∫ ∂ L ∂ q ˙ ( ± δ q τ ) ≈ ± ∂ L ∂ q ˙ δ q = ± ∂ L ∂ q ˙ φ . {\displaystyle \Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .}
これらの最後の項は、端点とを中心として評価され 、 作用の全変化が ゼロとなるように互いに打ち消し合うはずです。これは、軌道が解である場合に予想される通りです。これは 量 が保存されることを意味し、これはノイマンの定理の結論です。例えば、 定数による の純粋な並進運動量が対称性である場合、保存量は 、つまり正準運動量になります。 t 0 {\displaystyle t_{0}} t 1 {\displaystyle t_{1}} Δ S {\displaystyle \Delta S} ( ∂ L ∂ q ˙ φ ) ( t 0 ) = ( ∂ L ∂ q ˙ φ ) ( t 1 ) , {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),} ( ∂ L / ∂ q ˙ ) φ {\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi } q {\displaystyle q} ( ∂ L / ∂ q ˙ ) = p {\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p}
より一般的なケースでも同じ考え方が当てはまります。
歴史的背景 保存 則 とは、あるシステムの進化を数学的に記述する ある量 Xが、その運動を通して一定のままであることを規定する。つまり、 不変量である。数学的には、 X の変化率 （ 時間 に関する 微分 ）はゼロである。
d X d t = X ˙ = 0 . {\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.} このような量は保存されると言われ、しばしば 運動定数 と呼ばれます（ただし、運動 そのものが 関係している必要はなく、時間経過のみで変化すれば十分です）。例えば、ある系のエネルギーが保存される場合、そのエネルギーは常に不変であり、これは系の運動に制約を課し、系の運動を解くのに役立つ可能性があります。このような運動定数は、系の性質に関する洞察を与えるだけでなく、有用な計算ツールでもあります。例えば、近似解は、適切な保存則を満たす最も近い状態を見つけることで修正できます。
運動に関する最も古い定数は 運動量 と 運動エネルギー で、これらは17世紀に 衝突 実験 に基づいて ルネ・デカルト と ゴットフリート・ライプニッツにより提唱され、その後の研究者により改良されました。 アイザック・ニュートンは 運動量保存の現代的な形で初めて宣言し、それが ニュートンの運動の法則の結果であることを示しました。 一般相対性理論 によれば 、線形運動量、エネルギー、角運動量の保存則は、 応力‐エネルギーテンソル （非重力応力‐エネルギー）と ランダウ・リフシッツ応力‐エネルギー‐運動量擬テンソル （重力応力‐エネルギー）の和で表した場合にのみ、全体的に厳密に当てはまります。自由落下基準系における非重力線形運動量とエネルギーの局所的保存は、 応力‐エネルギーテンソル の共変 発散 がゼロになることで表されます。 天体の 天体力学 の研究で発見されたもう一つの重要な保存量は、 ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル です。
18世紀後半から19世紀初頭にかけて、物理学者たちは不変量を発見するためのより体系的な手法を開発しました。1788年には、 最小作用原理 に関連する ラグランジュ力学の発展によって大きな進歩がもたらされました。このアプローチでは、系の状態は任意の 一般化座標 q で記述でき 、運動の法則はニュートン力学で慣例であった 直交座標系 で表現する必要はありません。 作用は、 ラグランジュ L と呼ばれる関数の 時間積分 Iとして定義されます。
I = ∫ L ( q , q ˙ , t ) d t , {\displaystyle I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,} ここで、 q 上の点は座標 q の変化率を表す 。
q ˙ = d q d t . {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.} ハミルトンの原理は 、物理的経路 q ( t ) （つまり、系が実際に辿る経路）は、その経路における微小な変化が 少なくとも一次までは Iに変化をもたらさない経路であることを述べている。この原理から 、オイラー・ラグランジュ方程式 が導かれる。
d d t ( ∂ L ∂ q ˙ ) = ∂ L ∂ q . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.} したがって、座標の1つ、例えば q k がラグランジアンに現れない場合、方程式の右辺はゼロになり、左辺は
d d t ( ∂ L ∂ q ˙ k ) = d p k d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,} 勢いが
p k = ∂ L ∂ q ˙ k {\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}} 動作全体にわたって（物理的な経路上で）保存されます。
したがって、 ラグランジアンに 無視できる 座標 q k が存在しないということは、ラグランジアンがq k の変化や変換の影響を受けないことを意味する。ラグランジアンは不変であり、そのような変換に対して対称性 を示すと言われる 。これが、ノイマンの定理において一般化された根底にある考え方である。
19世紀には、保存量を求めるためのいくつかの代替手法が、特に ウィリアム・ローワン・ハミルトン によって開発されました。例えば、彼は 正準変換 の理論を開発し、座標変換によってラグランジアンから一部の座標が消え、結果として正準運動量が保存されることを可能にしました（上記の通り）。保存量を求めるもう一つのアプローチ、そしておそらく最も効率的な方法は、 ハミルトン・ヤコビ方程式 です。
エミー・ネーターの不変性定理に関する研究は、1915年に フェリックス・クライン とデイヴィッド・ヒルベルトが アルベルト・アインシュタイン の一般相対性理論に関する研究に携わっていたときに始まりました [10] : 31 1918年3月までに、彼女はその年の後半に発表される論文の主要なアイデアのほとんどをまとめていました [11] : 81
数式
ネーターの定理の本質は、無視できる座標の概念を一般化することです。
上で定義したラグランジアンLは 、時間変数 t と 一般化座標 q の小さな摂動（歪み）に対して不変であると仮定できる 。次のように書くことができる。
t → t ′ = t + δ t q → q ′ = q + δ q , {\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}} ここで、摂動 δt と δ q はどちらも小さいが、可変である。一般性を持たせるために、作用の 対称変換、すなわち作用を変化させない変換が（例えば） N 個あると仮定する。 これらの 変換はインデックス r = 1, 2, 3, ..., N でラベル付けされる。
結果として生じる摂動は、個々の摂動の線形和として表すことができます。
δ t = ∑ r ε r T r δ q = ∑ r ε r Q r , {\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}} ここで、 ε r はそれぞれに対応する微小 パラメータ係数 です。
平行移動の場合、 Q r は 長さ の単位を持つ定数です。回転の場合、 Q r は q の成分に線形な式であり 、パラメータは 角度 を構成します。
これらの定義を用いて、 ノイマンは N 個 の量
( ∂ L ∂ q ˙ ⋅ q ˙ − L ) T r − ∂ L ∂ q ˙ ⋅ Q r {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}} は保存される（ 運動定数 ）。
例 I. 時間不変性
例として、時間に依存しないラグランジアン、すなわち、 座標 qが変化しない t → t + δ t の変化に対して不変（対称）なラグランジアンを考える。この場合、 N = 1、 T = 1、 Q = 0である。対応する保存量は全 エネルギー Hである [12] ：401
H = ∂ L ∂ q ˙ ⋅ q ˙ − L . {\displaystyle H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.} II. 並進不変性
（上記のように「無視できる」）座標q k に依存しないラグランジアンを考える 。したがって、これは q k → q k + δq k の変化に対して不変（対称）である。この場合、 N = 1、 T = 0、 Q k = 1 となる。保存量は対応する線型 運動量 p k である[12] : 403–404
p k = ∂ L ∂ q k ˙ . {\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.} 特殊 相対論と 一般相対論 において 、これら二つの保存則は、 （上記のように） 大域的に表現することも、連続方程式として 局所的に 表現することもできます。大域的な保存則は、エネルギー運動量四元ベクトルの保存則という単一の大域的保存則に統合できます。また、エネルギー保存則と運動量保存則の局所的保存則（時空上の任意の点において）も、 時空上の点において 局所的に定義される量、 すなわち応力エネルギーテンソル [13] : 592 の保存則に統合できます（これは次節で導出されます）。
III. 回転不変性
角運動量 保存則 L = r × p は、線型運動量保存則と類似している。 [12] : 404–405 ラグランジアンの対称性は回転対称性、すなわち、ラグランジアンは空間における物理系の絶対的な向きに依存しないと仮定する。具体的には、ラグランジアンは 軸 nを中心とした角度 δθの微小回転では変化しないと仮定する。このような回転は 、直交座標系を 次式のように 変換する。
r → r + δ θ n × r . {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .} 時間は変換されないので、 T = 0、 N = 1である。δθ を ε パラメータ 、直交座標 r を一般化座標 q とすると、対応する Q 変数は次のように与えられる。
Q = n × r . {\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .} すると、ノイマンの定理は次の量が保存されることを述べています。
∂ L ∂ q ˙ ⋅ Q = p ⋅ ( n × r ) = n ⋅ ( r × p ) = n ⋅ L . {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .} 言い換えれば、角運動量 Lの n 軸に沿った成分は 保存されます。そして、 n が任意の場合、つまり系がいかなる回転に対しても鈍感である場合、 L のすべての成分は保存されます。つまり、 角運動量 は保存されます。
場の理論バージョン ここで示したノイマンの定理はそれ自体有用ではあるものの、1915年に導出された一般版の特殊なケースです。一般版の定理の趣旨を汲むため、4次元 時空における連続場に対するノイマンの定理をここで示します。現代物理学では 力学の 問題よりも場の理論の問題の方が一般的であるため 、この場の理論版はノイマンの定理の中で最も一般的に用いられている（あるいは最も頻繁に実装されている）版です。
あらゆる空間と時間にわたって定義された微分可能な場 の集合があるとする 。例えば、温度は そのような場の代表であり、あらゆる場所と時間で定義される数値である。このような場には 最小作用の原理 を適用できるが、作用は空間と時間にわたる積分となる。 φ {\displaystyle \varphi } T ( x , t ) {\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)}
S = ∫ L ( φ , ∂ μ φ , x μ ) d 4 x {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x} （この定理は、ラグランジアン がn 次導 関数まで に依存する場合にさらに一般化することができ 、 ジェットバンドル を 使って定式化することもできます）。
体の連続変換は 無限小で次のように表される。 φ {\displaystyle \varphi }
φ ↦ φ + ε Ψ , {\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,} ここで、は一般に と の 両方に依存する関数である 。 が物理的対称性を生成するための条件は 、作用 が左不変であることだ。これは、ラグランジアン密度が左不変であれば確かに成り立つが 、ラグランジアンが発散によって変化する場合にも成り立つ。 Ψ {\displaystyle \Psi } x μ {\displaystyle x^{\mu }} φ {\displaystyle \varphi } Ψ {\displaystyle \Psi } S {\displaystyle {\mathcal {S}}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}}
L ↦ L + ε ∂ μ Λ μ , {\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },} 発散定理 によれば、発散の積分は境界項となるからである 。与えられた作用によって記述される系は、この種の独立した対称性を複数持つ可能性があり、それらは で添え字付けされる。 したがって、最も一般的な対称変換は次のように表される
。 r = 1 , 2 , … , N , {\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}
φ ↦ φ + ε r Ψ r , {\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},} その結果
L ↦ L + ε r ∂ μ Λ r μ . {\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.} このようなシステムでは、ノイマンの定理は 保存された 電流密度が存在することを述べている。 N {\displaystyle N}
j r ν = Λ r ν − ∂ L ∂ φ , ν ⋅ Ψ r {\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}} ( ドット積は 、インデックスやインデックス ではなく、 フィールドの インデックスを縮小するものと理解されます )。 ν {\displaystyle \nu } r {\displaystyle r}
このような場合、 保存則 は4次元的に表現される。
∂ ν j ν = 0 , {\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,} これは、球体内の保存量は、その一部が球体外に流出しない限り変化しないという考えを表しています。例えば、 電荷 は保存されます。球体内の電荷量は、電荷の一部が球体外に流出しない限り変化しません。
例 I. 応力エネルギーテンソル
例として、上で考察したように、時間と空間の並進に対して同じ振る舞いをする物理場の系を考えてみましょう。言い換えれば、 は 第三引数において定数です。この場合、 N = 4 となり、空間と時間のそれぞれの次元に1つずつ対応します。空間における微小並進 （ クロネッカーのデルタ を表します ）は、場に のように影響を及ぼします 。つまり、座標のラベル付けは、座標をそのままにして場自体を並進させることと等価であり、これはつまり、各点における場の値を、検討中の微小変位によって 写像される「後ろ」 の点の値に置き換えることで場を変換することと等価です 。これは微小であるため、この変換は次のように書き表すことができます。 L ( φ , ∂ μ φ , x μ ) {\displaystyle L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)} x μ ↦ x μ + ε r δ r μ {\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }} δ {\displaystyle \delta } φ ( x μ ) ↦ φ ( x μ − ε r δ r μ ) {\displaystyle \varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)} x μ {\displaystyle x^{\mu }} x μ − ε X μ {\displaystyle x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }} x μ {\displaystyle x^{\mu }}
Ψ r = − δ r μ ∂ μ φ . {\displaystyle \Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .} ラグランジアン密度も同様に変換される ので、 L ( x μ ) ↦ L ( x μ − ε r δ r μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}
Λ r μ = − δ r μ L {\displaystyle \Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}} そして、ノイマンの定理は、 応力エネルギーテンソル T μν の 保存則に対応している [13] : 592。 ここで、の代わりに を用いている 。すなわち、先に示した式を用い、4つの保存電流（ ごとに1つ ）をテンソル にまとめると 、ノイマンの定理は次のようになる。 μ {\displaystyle \mu } r {\displaystyle r} μ {\displaystyle \mu } T {\displaystyle T}
T μ ν = − δ μ ν L + δ μ σ ∂ σ φ ∂ L ∂ φ , ν = ( ∂ L ∂ φ , ν ) ⋅ φ , μ − δ μ ν L {\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}} と
T μ ν , ν = 0 {\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0} （矛盾を避けるため、中間段階で を と 再ラベルしました）。（ただし、この方法で得られた は、一般相対論でソース項として使用される対称テンソルと異なる場合があります。「 標準応力エネルギーテンソル 」 を参照してください 。） μ {\displaystyle \mu } σ {\displaystyle \sigma } T {\displaystyle T}
II. 電荷
対照的に、電荷 の保存則は、 Ψ を 微分ではなく 場 φ に線形に考えることで導くことができる。 [13] : 593–594 量子力学 では 、点 x に粒子が存在する 確率振幅 ψ ( x )は複素場 φ である。なぜなら、これは空間と時間のすべての点に 複素数を 帰属させるからである。確率振幅自体は物理的に測定不可能であり、一連の測定から確率 p = | ψ | 2 のみが推論できる。したがって、このシステムは、 | ψ | 2を変えない ψ 場とその 複素共 役場 ψ * の変換に対して不変である。例えば、
ψ → e i θ ψ , ψ ∗ → e − i θ ψ ∗ , {\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,} 複素回転。位相θ が無限小 δθ となる極限では、パラメータ ε として取り 、 Ψ はそれぞれ iψ と − iψ *に等しい 。具体的な例としては、 スピンのない 粒子に対する シュレーディンガー方程式 の 相対論的に正しい バージョンである クライン・ゴルドン方程式 があり、そのラグランジアン密度は
L = ∂ ν ψ ∂ μ ψ ∗ η ν μ + m 2 ψ ψ ∗ . {\displaystyle L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.} この場合、ノイマンの定理によれば、保存された（∂ ⋅ j = 0）電流は
j ν = i ( ∂ ψ ∂ x μ ψ ∗ − ∂ ψ ∗ ∂ x μ ψ ) η ν μ , {\displaystyle j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,} これをその粒子種の電荷と掛け合わせると、その粒子種に起因する電流密度に等しくなります。この「ゲージ不変性」は ヘルマン・ワイルによって初めて指摘され、物理学における ゲージ対称性 の原型の一つです 。
派生
1つの独立変数 最も単純なケース、すなわち独立変数が1つだけであるシステムを考えてみましょう。従属変数 q は、作用積分が
I = ∫ t 1 t 2 L [ q [ t ] , q ˙ [ t ] , t ] d t {\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}
は従属変数の微小な変化に対して不変である。言い換えれば、それらは オイラー・ラグランジュ方程式を満たす。
d d t ∂ L ∂ q ˙ [ t ] = ∂ L ∂ q [ t ] . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].} そして、積分が連続対称性の下で不変であると仮定する。数学的には、このような対称性は フロー φ として表され、 これは変数に対して次のように作用する。
t → t ′ = t + ε T q [ t ] → q ′ [ t ′ ] = φ [ q [ t ] , ε ] = φ [ q [ t ′ − ε T ] , ε ] {\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}} ここで、 ε は流量を示す実変数であり、 T は 流量が時間をどれだけシフトさせるかを示す実定数 (ゼロの場合もある) です。
q ˙ [ t ] → q ˙ ′ [ t ′ ] = d d t φ [ q [ t ] , ε ] = ∂ φ ∂ q [ q [ t ′ − ε T ] , ε ] q ˙ [ t ′ − ε T ] . {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].} 作用積分は
I ′ [ ε ] = ∫ t 1 + ε T t 2 + ε T L [ q ′ [ t ′ ] , q ˙ ′ [ t ′ ] , t ′ ] d t ′ = ∫ t 1 + ε T t 2 + ε T L [ φ [ q [ t ′ − ε T ] , ε ] , ∂ φ ∂ q [ q [ t ′ − ε T ] , ε ] q ˙ [ t ′ − ε T ] , t ′ ] d t ′ {\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}} これはε の関数とみなせる。ε = 0 における導関数を計算し、 ライプニッツの法則 を用いると、
0 = d I ′ d ε [ 0 ] = L [ q [ t 2 ] , q ˙ [ t 2 ] , t 2 ] T − L [ q [ t 1 ] , q ˙ [ t 1 ] , t 1 ] T + ∫ t 1 t 2 ∂ L ∂ q ( − ∂ φ ∂ q q ˙ T + ∂ φ ∂ ε ) + ∂ L ∂ q ˙ ( − ∂ 2 φ ( ∂ q ) 2 q ˙ 2 T + ∂ 2 φ ∂ ε ∂ q q ˙ − ∂ φ ∂ q q ¨ T ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}} オイラー・ラグランジュ方程式は、
d d t ( ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ T ) = ( d d t ∂ L ∂ q ˙ ) ∂ φ ∂ q q ˙ T + ∂ L ∂ q ˙ ( d d t ∂ φ ∂ q ) q ˙ T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ¨ T = ∂ L ∂ q ∂ φ ∂ q q ˙ T + ∂ L ∂ q ˙ ( ∂ 2 φ ( ∂ q ) 2 q ˙ ) q ˙ T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ¨ T . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}} これを前の式に代入すると、
0 = d I ′ d ε [ 0 ] = L [ q [ t 2 ] , q ˙ [ t 2 ] , t 2 ] T − L [ q [ t 1 ] , q ˙ [ t 1 ] , t 1 ] T − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ [ t 2 ] T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ [ t 1 ] T + ∫ t 1 t 2 ∂ L ∂ q ∂ φ ∂ ε + ∂ L ∂ q ˙ ∂ 2 φ ∂ ε ∂ q q ˙ d t . {\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}} 再びオイラー・ラグランジュ方程式を用いると、
d d t ( ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε ) = ( d d t ∂ L ∂ q ˙ ) ∂ φ ∂ ε + ∂ L ∂ q ˙ ∂ 2 φ ∂ ε ∂ q q ˙ = ∂ L ∂ q ∂ φ ∂ ε + ∂ L ∂ q ˙ ∂ 2 φ ∂ ε ∂ q q ˙ . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.} これを前の式に代入すると、
0 = L [ q [ t 2 ] , q ˙ [ t 2 ] , t 2 ] T − L [ q [ t 1 ] , q ˙ [ t 1 ] , t 1 ] T − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ [ t 2 ] T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ [ t 1 ] T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε [ t 2 ] − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε [ t 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}} そこからわかるのは
( ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ − L ) T − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}} は運動定数、すなわち保存量である。φ[ q , 0] = q であるので、 保存量は次のように簡略化される。 ∂ φ ∂ q = 1 {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}
( ∂ L ∂ q ˙ q ˙ − L ) T − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε . {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.} 式の過度な複雑化を避けるため、この導出では流れが時間経過に伴って変化しないと仮定しました。より一般的なケースでも同じ結果が得られます。
幾何学的導出 ノイマンの定理は、 微積分学の基本定理 （物理学では 一般化ストークスの定理 や 勾配定理 など様々な名前で知られている）の帰結として見ることができる。 [14]
領域内の解析的
関数に対して 、 S {\textstyle S} D {\textstyle {\cal {D}}} ∫ P d S = 0 {\displaystyle \int _{\cal {\cal {P}}}dS=0}
ノイマンの定理に至る積分経路 ここで 、 は における閉経路です 。ここで、 関数 は 、最適軌道上のラグランジアン積分によって計算される、あるいは ハミルトン・ヤコビ方程式 から得られる作用 関数 です。 （ここで は運動量）、 （ここで はハミルトニアン） のとき、この関数の微分は で与えられます 。 P {\textstyle {\cal {P}}} D {\textstyle {\cal {D}}} S ( q , t ) {\textstyle S(\mathbf {q} ,t)} ∂ S / ∂ q = p {\textstyle \partial S/\partial \mathbf {q} =\mathbf {p} } p {\textstyle \mathbf {p} } ∂ S / ∂ t = − H {\textstyle \partial S/\partial t=-H} H {\textstyle H} d S = p d q − H d t {\textstyle dS=\mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt}
幾何学的アプローチを用いることで、ノイマンの意味での対称性の保存量を導くことができる。この対称性は無限小変換として表現される。 を最適軌道と し 、 上記の変換によるその像 （これも最適軌道である）とする。 積分の閉経路は として選択される。 ここで、枝 と枝はそれぞれ と で 与えられる 。ノイマンの定理の仮定により、 の一次で となるため 、となる。 定義により、枝上 で は と となる 。したがって、 の一次で となるため 、量は 軌道に沿って保存される。 q ′ = q + ϵ ϕ q ( q , t ) t ′ = t + ϵ ϕ t ( q , t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q'} &=&\mathbf {q} +\epsilon \phi _{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,t)\\t'&=&t+\epsilon \phi _{t}(\mathbf {q} ,t)\end{aligned}}} C {\textstyle {\cal {C}}} C ′ {\textstyle {\cal {C}}'} ( ϕ q , ϕ t ) T {\textstyle (\phi _{\mathbf {q} },\phi _{t})^{T}} P {\textstyle {\cal {P}}} A B B ′ A ′ {\textstyle ABB'A'} A B {\textstyle AB} A ′ B ′ {\textstyle A'B'} C {\textstyle {\cal {C}}} C ′ {\textstyle {\cal {C}}'} ϵ {\textstyle \epsilon } ∫ C d S = ∫ C ′ d S {\displaystyle \int _{\cal {C}}dS=\int _{{\cal {C}}'}dS} ∫ A A ′ d S = ∫ B B ′ d S {\displaystyle \int _{A}^{A'}dS=\int _{B}^{B'}dS} A A ′ {\textstyle AA'} d q = ϵ ϕ q ( q , t ) {\textstyle d\mathbf {q} =\epsilon \phi _{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,t)} d t = ϵ ϕ t ( q , t ) {\textstyle dt=\epsilon \phi _{t}(\mathbf {q} ,t)} ϵ {\textstyle \epsilon } I = p ϕ q − H ϕ t {\displaystyle I=\mathbf {p} \phi _{\mathbf {q} }-H\phi _{t}}
場の理論的導出 ネーターの定理は、指数 Aが 様々なテンソル場の様々な成分にわたって変化する テンソル場に対しても導出できる。これらの場の量は、4次元空間上で定義される関数であり、その空間の点は座標 x μ で表され、指数 μは 時間（ μ = 0）と3つの空間次元（ μ = 1, 2, 3）にわたって変化する。これらの4つの座標は独立変数であり、各イベントにおける場の値は従属変数である。無限小変換の下では、座標の変化は次のように表される。 φ A {\displaystyle \varphi ^{A}}
x μ → ξ μ = x μ + δ x μ {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }} 一方、場の変数の変換は次のように表される。
φ A → α A ( ξ μ ) = φ A ( x μ ) + δ φ A ( x μ ) . {\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.} この定義によれば、磁場の変化は 2つの要因、すなわち磁場自体の固有の変化と座標の変化から生じます。これは、変換された磁場 α A が 変換された座標ξ μ に依存するためです。固有の変化を分離するために、単一点 x μ における磁場の変化は次のように定義できます。 δ φ A {\displaystyle \delta \varphi ^{A}}
α A ( x μ ) = φ A ( x μ ) + δ ¯ φ A ( x μ ) . {\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.} 座標が変更されると、ラグランジアン積分が行われる時空領域の境界も変更されます。元の境界とその変換されたバージョンは、それぞれ Ω と Ω' で表されます。
ネーターの定理は、座標と場の変数の特定の変換が 作用 を変化させないという仮定から始まります。作用は、与えられた時空領域におけるラグランジアン密度の積分として定義されます。数学的に表現すると、この仮定は次のように表されます。
∫ Ω ′ L ( α A , α A , ν , ξ μ ) d 4 ξ − ∫ Ω L ( φ A , φ A , ν , x μ ) d 4 x = 0 {\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0} ここで、コンマの下付き文字は、コンマに続く座標に関する偏微分を示します。例：
φ A , σ = ∂ φ A ∂ x σ . {\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.} ξは積分のダミー変数であり、境界Ωの変化は仮定により無限小であるため、2つの積分は発散定理 の4次元版を用いて 次の形に
組み合わせることができる。
∫ Ω { [ L ( α A , α A , ν , x μ ) − L ( φ A , φ A , ν , x μ ) ] + ∂ ∂ x σ [ L ( φ A , φ A , ν , x μ ) δ x σ ] } d 4 x = 0 . {\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.} ラグランジアンの差は、無限小変化において次のように一次式で表すことができる。
[ L ( α A , α A , ν , x μ ) − L ( φ A , φ A , ν , x μ ) ] = ∂ L ∂ φ A δ ¯ φ A + ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A , σ . {\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.} しかし、変分は前述のように同じ点で定義されているため、変分と微分は逆の順序で実行することができ、それらは 可換である。
δ ¯ φ A , σ = δ ¯ ∂ φ A ∂ x σ = ∂ ∂ x σ ( δ ¯ φ A ) . {\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.} オイラー・ラグランジュ場の方程式を用いる
∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ φ A , σ ) = ∂ L ∂ φ A {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}} ラグランジアンの差は次のように簡潔に表される。
[ L ( α A , α A , ν , x μ ) − L ( φ A , φ A , ν , x μ ) ] = ∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ φ A , σ ) δ ¯ φ A + ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A , σ = ∂ ∂ x σ ( ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}} したがって、アクションの変化は次のように記述できます。
∫ Ω ∂ ∂ x σ { ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A + L ( φ A , φ A , ν , x μ ) δ x σ } d 4 x = 0 . {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.} これは任意の領域Ωに当てはまるので、積分関数はゼロでなければならない。
∂ ∂ x σ { ∂ L ∂ φ A , σ δ ¯ φ A + L ( φ A , φ A , ν , x μ ) δ x σ } = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.} 様々な対称 変換の任意の組み合わせに対して 、摂動は次のように表される。
δ x μ = ε X μ δ φ A = ε Ψ A = δ ¯ φ A + ε L X φ A {\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}} ここでは X μ 方向の リー 微分 で ある 。 が スカラーまたは のとき 、 L X φ A {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}} φ A {\displaystyle \varphi ^{A}} φ A {\displaystyle \varphi ^{A}} X μ , ν = 0 {\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}
L X φ A = ∂ φ A ∂ x μ X μ . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.} これらの式は、ある点における磁場の変化が
δ ¯ φ A = ε Ψ A − ε L X φ A . {\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.} 上記の発散をε = 0で ε に関して微分し 、符号を変えると保存則が得られる。
∂ ∂ x σ j σ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0} ここで保存電流は
j σ = [ ∂ L ∂ φ A , σ L X φ A − L X σ ] − ( ∂ L ∂ φ A , σ ) Ψ A . {\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}
多様体/ファイバー束導出 n 次元の有向 リーマン多様体 M と 目標多様体 T があるとする 。M から T への 滑らかな関数 の 配置空間 を とする。（より一般的には、 ファイバー 束 Tの M 上における 滑らかな切断が存在する 。） C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
物理学における この Mの例には次のようなものがあります。
古典力学 では 、 ハミルトン 定式化において、 M は時間を表す1 次元多様体であり 、ターゲット空間は一般化された位置の 空間 の 接線束 です。 R {\displaystyle \mathbb {R} } 場の理論 において 、 Mは 時空 多様体であり 、対象空間は任意の点において場が取り得る値の集合です。例えば、 実 数値 スカラー場が m 個ある場合、 対象多様体は です 。場が実ベクトル場である場合、対象多様体は と 同型 です。 φ 1 , … , φ m {\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} さて、関数 型
S : C → R , {\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,} 作用 と呼ばれる。( ではなく に 値を取り込む 。これは物理的な理由によるもので、この証明では重要ではない。) R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} }
通常のノイマン定理を導くには、 作用に対する追加の制約が必要となる。 は関数 M の 積分 で あると 仮定する。 S [ φ ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}
L ( φ , ∂ μ φ , x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)} ラグランジアン密度 と呼ばれるものは 、 その 導関数 と位置に依存します。言い換えると 、 φ {\displaystyle \varphi } φ {\displaystyle \varphi } C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
S [ φ ] = ∫ M L [ φ ( x ) , ∂ μ φ ( x ) , x ] d n x . {\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.} 境界条件、すなわち M が コンパクト の場合の 境界における の 値、あるいは x が ∞に近づく につれて に 何らかの極限が与えられていると 仮定します。この場合、 の 部分空間 は、における のすべての 関数微分が ゼロとなるような 関数から構成されます。 つまり
、 φ {\displaystyle \varphi } φ {\displaystyle \varphi } C {\displaystyle {\mathcal {C}}} φ {\displaystyle \varphi } S {\displaystyle {\mathcal {S}}} φ {\displaystyle \varphi }
δ S [ φ ] δ φ ( x ) ≈ 0 {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0} 与えられた境界条件を満たすものは、 オンシェル 解の部分空間である 。（ 定常作用の原理を 参照） φ {\displaystyle \varphi }
さて、関数 微分 Q によって生成される 上の 無限小変換 が あり 、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
Q [ ∫ N L d n x ] ≈ ∫ ∂ N f μ [ φ ( x ) , ∂ φ , ∂ ∂ φ , … ] d s μ {\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }} すべてのコンパクト部分多様体 N に対して、言い換えれば、
Q [ L ( x ) ] ≈ ∂ μ f μ ( x ) {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)} すべてのx に対して 、
L ( x ) = L [ φ ( x ) , ∂ μ φ ( x ) , x ] . {\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].} これがシェル上 と オフシェル上 で成り立つ場合、 Q は オフシェル対称性を生成する と言います。これが シェル上で のみ成り立つ場合、 Q は オンシェル対称性を生成すると言います。そして、 Q は 1パラメータ 対称 リー群 の生成元であると言います 。
さて、任意の Nに対して、 オイラー・ラグランジュの 定理により 、 シェル上 （そしてシェル上のみ）では、
Q [ ∫ N L d n x ] = ∫ N [ ∂ L ∂ φ − ∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) ] Q [ φ ] d n x + ∫ ∂ N ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) Q [ φ ] d s μ ≈ ∫ ∂ N f μ d s μ . {\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}} これは任意の N に対して成り立つので、
∂ μ [ ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) Q [ φ ] − f μ ] ≈ 0. {\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.} しかし、これは 電流の 連続方程式 で定義される： [15] J μ {\displaystyle J^{\mu }}
J μ = ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) Q [ φ ] − f μ , {\displaystyle J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },} これは 対称性 に関連する ノイザー電流 と呼ばれます。連続方程式によれば、 この電流を 空間的なスライス上で 積分する と、ノイザー電荷と呼ばれる 保存量が 得られます（もちろん、 M が非コンパクトな場合、電流は無限遠で十分に速く減少します）。
ノイマンの定理は 殻上の 定理であり、運動方程式（古典経路）の利用に基づいています。これは境界条件と変分原理の関係を反映しています。作用に境界項がないと仮定すると、ノイマンの定理は次のことを示唆します。
∫ ∂ N J μ d s μ ≈ 0. {\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.} ノイマンの定理の量子的な類似物として、期待値（例えば、 ）を含み、 オフシェル 量も調べるものは 、ウォード・タカハシ恒等式 である。 ⟨ ∫ d 4 x ∂ ⋅ J ⟩ = 0 {\textstyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}
リー代数への一般化 二つの対称微分Q 1 と Q 2 があるとする 。すると、[ Q 1 , Q 2 ] も対称微分となる。これを具体的に見てみよう 。 Q 1 [ L ] ≈ ∂ μ f 1 μ {\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }} Q 2 [ L ] ≈ ∂ μ f 2 μ {\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}
ここで 、 f 12 = Q 1 [ f 2 μ ] − Q 2 [ f 1 μ ] となる。つまり、 [ Q 1 , Q 2 ] [ L ] = Q 1 [ Q 2 [ L ] ] − Q 2 [ Q 1 [ L ] ] ≈ ∂ μ f 12 μ {\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }} j 12 μ = ( ∂ ∂ ( ∂ μ φ ) L ) ( Q 1 [ Q 2 [ φ ] ] − Q 2 [ Q 1 [ φ ] ] ) − f 12 μ . {\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}
これは、ネーターの定理を自然な方法でより大きなリー代数に拡張できることを示しています。
証明の一般化 これは、 QS ≈ 0を満たす任意の 局所 対称性微分 Q に適用され 、さらに、ラグランジアン が場の高次導関数に依存するものも含め、より一般的な局所関数微分可能アクションにも適用されます。 ε を 、そのサポートの閉包が境界と独立であるような時空（または時間）多様体の任意の滑らかな関数とします。 εは テスト関数 です 。すると、変分原理（ ちなみに境界には適用されません）により、 q [ ε ] [Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )] によって生成される微分分布 q は、すべての εに対して q [ ε ][ S ] ≈ 0 を 満たし 、より簡潔に 言えば、境界上にない すべての xに対して q ( x )[ S ] ≈ 0 を満たします（ただし、 q ( x ) は微分 分布の省略形であり、一般に x によってパラメータ化された微分ではないことに注意してください ）。これはノイマンの定理の一般化です。
この一般化が上記のバージョンとどのように関係するかを見るために、作用がラグランジアンの時空積分であり 、その一次導関数にのみ依存すると仮定する。また、 φ {\displaystyle \varphi }
Q [ L ] ≈ ∂ μ f μ {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }} それから、
q [ ε ] [ S ] = ∫ q [ ε ] [ L ] d n x = ∫ { ( ∂ ∂ φ L ) ε Q [ φ ] + [ ∂ ∂ ( ∂ μ φ ) L ] ∂ μ ( ε Q [ φ ] ) } d n x = ∫ { ε Q [ L ] + ∂ μ ε [ ∂ ∂ ( ∂ μ φ ) L ] Q [ φ ] } d n x ≈ ∫ ε ∂ μ { f μ − [ ∂ ∂ ( ∂ μ φ ) L ] Q [ φ ] } d n x {\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}} すべてのために 。 ε {\displaystyle \varepsilon }
より一般的には、ラグランジアンが高次の導関数に依存する場合、
∂ μ [ f μ − [ ∂ ∂ ( ∂ μ φ ) L ] Q [ φ ] − 2 [ ∂ ∂ ( ∂ μ ∂ ν φ ) L ] ∂ ν Q [ φ ] + ∂ ν [ [ ∂ ∂ ( ∂ μ ∂ ν φ ) L ] Q [ φ ] ] − ⋯ ] ≈ 0. {\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.}
例
例1: エネルギー保存則 質量m 、座標 x のニュートン粒子が 、時間 tで座標付けられたポテンシャル V の影響下で運動している具体的なケースを考えてみましょう 。 作用 S は 、以下の式で表されます。
S [ x ] = ∫ L [ x ( t ) , x ˙ ( t ) ] d t = ∫ ( m 2 ∑ i = 1 3 x ˙ i 2 − V ( x ( t ) ) ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}} 括弧内の最初の項は 粒子の 運動エネルギーであり、2番目の項は 位置エネルギーです。 時間変換 の生成器を考えてみましょう 。言い換えると、です 。座標 xは 時間に明示的に依存しますが、 Vは 依存しません。したがって、次の
式が成り立ちます。 Q = d d t {\displaystyle Q={\frac {d}{dt}}} Q [ x ( t ) ] = x ˙ ( t ) {\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}
Q [ L ] = d d t [ m 2 ∑ i x ˙ i 2 − V ( x ) ] = m ∑ i x ˙ i x ¨ i − ∑ i ∂ V ( x ) ∂ x i x ˙ i {\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}} 設定できるように
L = m 2 ∑ i x ˙ i 2 − V ( x ) . {\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).} それから、
j = ∑ i = 1 3 ∂ L ∂ x ˙ i Q [ x i ] − L = m ∑ i x ˙ i 2 − [ m 2 ∑ i x ˙ i 2 − V ( x ) ] = m 2 ∑ i x ˙ i 2 + V ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}} 右側はエネルギーであり、ノイマンの定理は、 （つまり、エネルギー保存の原理は時間変換に対する不変性の結果である）と述べています。 d j / d t = 0 {\displaystyle dj/dt=0}
より一般的には、ラグランジアンが時間に明示的に依存しない場合、
∑ i = 1 3 ∂ L ∂ x ˙ i x i ˙ − L {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L} ( ハミルトニアン と呼ばれる) は保存されます。
例2: 運動量中心の保存 依然として1次元時間を考えると、
S [ x → ] = ∫ L [ x → ( t ) , x → ˙ ( t ) ] d t = ∫ [ ∑ α = 1 N m α 2 ( x → ˙ α ) 2 − ∑ α < β V α β ( x → β − x → α ) ] d t , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}} ニュートン粒子の場合 、ポテンシャルは相対変位にのみ依存します。 N {\displaystyle N}
について 、ガリレイ変換の生成元（つまり、参照フレームの変化）を考えてみましょう。言い換えると、 Q → {\displaystyle {\vec {Q}}}
Q i [ x α j ( t ) ] = t δ i j . {\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.} そして
Q i [ L ] = ∑ α m α x ˙ α i − ∑ α < β t ∂ i V α β ( x → β − x → α ) = ∑ α m α x ˙ α i . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}} これは次のような形式な ので設定できる d d t ∑ α m α x α i {\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}
f → = ∑ α m α x → α . {\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.} それから、
j → = ∑ α ( ∂ ∂ x → ˙ α L ) ⋅ Q → [ x → α ] − f → = ∑ α ( m α x → ˙ α t − m α x → α ) = P → t − M x → C M {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}} ここで 、は全運動量、 M は全質量、 は質量中心です。ノイマンの定理は次のように述べます。 P → {\displaystyle {\vec {P}}} x → C M {\displaystyle {\vec {x}}_{CM}}
d j → d t = 0 ⇒ P → − M x → ˙ C M = 0. {\displaystyle {\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.}
例1と例2はどちらも1次元多様体（時間）上にあります。時空を含む例としては、 (3 + 1)- ミンコフスキー時空における、質量 ゼロ の実スカラー場と4次ポテンシャルの 共形変換 が挙げられます。
S [ φ ] = ∫ L [ φ ( x ) , ∂ μ φ ( x ) ] d 4 x = ∫ ( 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − λ φ 4 ) d 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}} Q について 、時空再スケーリングの生成元を考える。言い換えれば、
Q [ φ ( x ) ] = x μ ∂ μ φ ( x ) + φ ( x ) . {\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).} 右辺の2番目の項は、の「共形重み」によるものである 。そして φ {\displaystyle \varphi }
Q [ L ] = ∂ μ φ ( ∂ μ φ + x ν ∂ μ ∂ ν φ + ∂ μ φ ) − 4 λ φ 3 ( x μ ∂ μ φ + φ ) . {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).} これは次のような形式である
∂ μ [ 1 2 x μ ∂ ν φ ∂ ν φ − λ x μ φ 4 ] = ∂ μ ( x μ L ) {\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)} （ここではダミーインデックスの変更を実行した）
f μ = x μ L . {\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.} それから
j μ = [ ∂ ∂ ( ∂ μ φ ) L ] Q [ φ ] − f μ = ∂ μ φ ( x ν ∂ ν φ + φ ) − x μ ( 1 2 ∂ ν φ ∂ ν φ − λ φ 4 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}} ネーターの定理は、 （オイラー-ラグランジュ方程式を左辺に代入することで明示的に確認できる）と述べています。 ∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}
この方程式のWard–Takahashi 類似体を見つけようとすると、 異常性 のために問題に遭遇します 。
アプリケーション ノイマンの定理を応用することで、物理学者は、関係する法則の形を不変にする様々な変換を分析するだけで、物理学におけるあらゆる一般理論への洞察を得ることができます。例えば、
孤立系の空間的並進不変性 （ 言い換えれば、物理法則は空間内のあらゆる場所で同じである）は、 線形運動量 保存則（孤立系の全線形運動量は一定であると述べている）を与える。 孤立系の時間 変換に対する不変性 （つまり、物理法則がすべての時点で同じであるということ）は、 エネルギー保存の法則 （孤立系の全エネルギーは一定であると述べている）を与える。 回転 に関する孤立系不変性 （つまり、物理法則は空間内のすべての角度方向に関して同じである）は、 角運動量保存の法則 （孤立系の全角運動量は一定であると述べている）を与える。 ローレンツブーストに関する孤立システムの不変性（つまり、物理法則はすべての慣性参照フレームに関して同じである）は、質量中心定理（孤立システムの質量中心は一定の速度で移動すると述べる）を与えます。 量子場の理論 では 、ノイマンの定理の類似物である ウォード・高橋恒等式によって 、 荷電粒子の 複素 場の 位相因子 の変化に関する不変性と、 電位 と ベクトルポテンシャル の関連 ゲージから得られる 電荷 の保存則など、さらなる保存則が導かれます。
ノイマン電荷は 静止したブラックホール の エントロピー の計算にも使われる。 [16]
参照
参考文献 ^ ネーター、E. (1918)。 「不変変分問題」。 Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 。数学物理学クラス。 1918 : 235–257 . ^ Müller, Johanna; Hermann, Sophie; Sammüller, Florian; Schmidt, Matthias (2024). 「平衡統計力学におけるゲージ不変性」. Physical Review Letters . 133 (21) 217101. arXiv : 2406.19235 . Bibcode :2024PhRvL.133u7101M. doi :10.1103/PhysRevLett.133.217101. PMID : 39642496. ^ Peng, Liangrong; Hong, Liu (2021-10-31). 「不可逆過程における保存–散逸形式論の最近の進歩」. エントロピー . 23 (11): 1447. arXiv : 2109.07063 . Bibcode :2021Entrp..23.1447P. doi : 10.3390/e23111447 . ISSN 1099-4300. PMC 8620699. PMID 34828145 . ^ ab José, Jorge V.; Saletan, Eugene J. (1998). 『古典力学：現代的アプローチ 』 ケンブリッジ [イギリス]: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-139-64890-5 . OCLC 857769535。 ^ ハンド, ルイス・N.; フィンチ, ジャネット・D. (1998). 『解析力学 』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-57327-0 . OCLC 37903527。 ^ スティーブン・T・ソーントン、ジェリー・B・マリオン（2004年）『 粒子とシステムの古典力学』 （第5版）ボストン、マサチューセッツ州：ブルックス／コール社、センゲージ・ラーニング 。ISBN 978-0-534-40896-1 . OCLC 759172774。 ^ デ・アスカラガ、JA;ルキエルスキー、J.ビンデル、P. (1986-07-01)。 「超空間におけるスーパーフィールドと標準メソッド」 。 現代物理学の文字 A 。 01 (4): 293–302 。 Bibcode :1986MPLA....1..293D。 土井 ：10.1142/S0217732386000385。 ISSN 0217-7323。 ^ Thompson, WJ (1994). 角運動量：物理系の回転対称性に関する図解ガイド. 第1巻. Wiley. p. 5. ISBN 0-471-55264-X 。 ^ Nina Byers (1998)「E. Noetherによる対称性と保存則の深いつながりの発見」。1996年12月2日から4日にかけてイスラエルのバル＝イラン大学で開催されたエミー・ノイザーの遺産に関するシンポジウム議事録、付録B。 ^ ディック、オーギュスト（1981年）『エミー・ネーター 1882–1935』ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー・ボストン. doi :10.1007/978-1-4684-0535-4. ISBN 978-1-4684-0537-8 。 ^ Rowe, David E. (2021). エミー・ネーター – 卓越した数学者. 出版社: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-030-63810-8. ISBN 978-3-030-63809-2 。 ^ abc ランチョス, C. (1970). 『変分原理の力学』 （第4版）. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 0-486-65067-7 。 ^ abc ゴールドスタイン、ハーバート （1980年） 『古典力学』 （第2版）アディソン・ウェスレー出版、マサチューセッツ州レディング、 ISBN 0-201-02918-9 。 ^ Houchmandzadeh, B. (2025). 「ノイマン定理の幾何学的導出」. European Journal of Physics . 46 (2): 025003. arXiv : 2502.19438 . Bibcode :2025EJPh...46b5003H. doi :10.1088/1361-6404/adb546. ^ マイケル・E・ペスキン、ダニエル・V・シュローダー (1995). 量子場の理論入門. ベーシックブックス. p. 18. ISBN 0-201-50397-2 。 ^ Iyer, Vivek; Wald, Robert M. (1995年10月15日). 「定常ブラックホールのエントロピー計算におけるノイザー荷電法とユークリッド法の比較」. Physical Review D. 52 ( 8): 4430– 4439. arXiv : gr-qc/9503052 . Bibcode :1995PhRvD..52.4430I. doi :10.1103/PhysRevD.52.4430. PMID 10019667. S2CID 2588285.
さらに読む ネーターの原論文
ネーター、エミー (1918)。 「不変変分問題」 [不変変分問題]。 Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス (ドイツ語)。ワイドマンシェ・ブッフハンドルング: 235–257 。 再版 ネーター、エミー (1983)。 「不変変分問題」[不変変分問題]。 ゲザメルテ・アブハンドルンゲン （ドイツ語）。ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー。 231～ 239ページ 。 翻訳 Noether, Emmy (1971). 「不変変分問題」. 輸送理論と統計物理学 . 1 (3). Mort Tavel訳: 186– 207. arXiv : physics/0503066 . Bibcode : 1971TTSP....1..186N. doi : 10.1080/00411457108231446. S2CID 119019843. (原文は Gott. Nachr. 1918:235–257) その他
Badin, Gualtiero; Crisciani, Fulvio (2018). 流体および地球物理流体力学の変分定式化：力学、対称性、保存則 . Springer. p. 218. Bibcode :2018vffg.book.....B. doi :10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5 . S2CID 125902566。 Baez, John (2002). 「Noether's Theorem in a Nutshell」. math.ucr.edu . 2020年 8月28日 閲覧 。 バイアーズ、ニーナ (1998). 「E. ノイマンによる対称性と保存則の深い関連性の発見」 arXiv : physics/9807044 . クエスタ, ウラジミール; メルセド・モンテシノス; ホセ・ダヴィド・ベルガラ (2007). 「非正準シンプレクティック構造を持つゲージ系における作用原理のゲージ不変性」. Physical Review D. 76 ( 2) 025025. Bibcode :2007PhRvD..76b5025C. doi :10.1103/PhysRevD.76.025025. Hanc, J.; Tuleja, S.; Hancova, M. (2004). 「対称性と保存則：ノイマン定理の帰結」. American Journal of Physics . 72 (4): 428–35 . Bibcode :2004AmJPh..72..428H. doi :10.1119/1.1591764. ジョンソン、トリスタン (2016). ノイマンの定理：対称性と保存性（学士（優等））. ユニオンカレッジ. 2025年 8月10日 閲覧 。 コスマン＝シュワルツバッハ、イヴェット （2010年） 『ノイマン定理：20世紀における不変性と保存則』 数学・物理科学史資料集成、 シュプリンガー・フェアラーク 、 ISBN 978-0-387-87867-6 。 オンラインコピー。 レオーネ、ラファエル（2018年4月11日）「100年後のノイマンの定理の素晴らしさとラウス還元について」 arXiv : 1804.01714 [physics.hist-ph]. Montesinos, Merced; Ernesto Flores (2006). 「ノイザーの定理のみを用いて得られるマクスウェル、ヤン＝ミルズ、プロカ理論における対称エネルギー・運動量テンソル」 (PDF) . メキシコ物理学会誌 . 52 (1): 29– 36. arXiv : hep-th/0602190 . Bibcode :2006RMxF...52...29M. 2016年3月4日時点の オリジナル (PDF)からアーカイブ。 2014年11月12日 閲覧 。 モーザー、セス（2020年4月21日）「ラグランジアン可視化によるノイマン定理の理解」 物理学キャップストーンプロジェクト ： 1～ 12。 2020年 8月28日 閲覧 。 ノイエンシュヴァンダー、ドワイト・E. (2010). エミー・ネーターの素晴らしい定理 . ジョンズ・ホプキンス大学出版局. ISBN 978-0-8018-9694-1 。 オルバー、ピーター (1993). リー群の微分方程式への応用 . 大学院数学テキスト . 第107巻（第2版）. シュプリンガー出版 . ISBN 0-387-95000-1 。 クイッグ、クリス（2019年7月9日）「コロキウム：ノイマンの定理の1世紀」 arXiv : 1902.01989 [physics.hist-ph]. Sardanashvily, G. (2009). 「一般設定におけるゲージ保存則：スーパーポテンシャル」. 現代物理学における幾何学的手法の国際ジャーナル . 6 (6): 1047– 1056. arXiv : 0906.1732 . Bibcode :2009arXiv0906.1732S. doi :10.1142/S0219887809003862. サルダナシュヴィリー, G. (2016). ネーターの定理：力学と場の理論への応用 . シュプリンガー・フェアラーク . ISBN 978-94-6239-171-0 。
外部リンク 
![{\displaystyle [t_{0},t_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe2ab6560fe2acf9a63ad878ad482164b79012d)
![{\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1d2178c06e8bd1d9fc73f720067dd6f2fc2b83)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb82beae5339280dd6af2797f94149a25072bbb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615e95321b6368092234da2547b7a7d93171f37a)
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac381fce8ece1d2256fef05c3abb5226c7e6398)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\ドット{\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5799d04efe74b0cb5b531ad9309ce6b439e116a4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]TL[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79397ffad3db948266bdffaa8086ffe0f4ff325e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfcb48f4ea4935d25568365c7bf334e05c57d4ab)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]TL[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb793fe08b154e9abfe0f1f1c08ee120e50e634)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]TL[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\部分的\mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b12fa9bfc81062bd8af58db62a3acffa9656d13)
![{\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce13bd3145ff1a36fc5a09fb2c41406195c0a83b)
![{\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b1cd7bf5f8cd92e7f7dd78b6b0dc424234318e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0baaa34dae8af1b8184180fec3335490ead75b9f)
![{\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbb1c56bca865eb082c638fc0cddc167c9cfc12)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116c201dde0387f10986dbfe000d90ea527add9c)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df433b04fcebf484b519c08811a0c35f7d377a5f)
![{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0c6e3aa40450743efa936f0eaf3b1d390e0829)
![{\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9ab52f2d900ea76d6576c375faadf9ad76da2c)
![{\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f97fa172298edff84489bcd2b028d20fc25aec)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac4bdc9a3404a28acb6b058568dd43241e2b81b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a4720efd4e3106ef9206263e52d0100083997d)
![{\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5efaa35a715dcc39f759e9360c6d30e6864bba)
![{\displaystyle J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0749a382c376180fd77d942ef642da47bc750289)
![{\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05235c9f075a8162aa1a7787cc22381b373776eb)
![{\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b2f7d1f25bc8e86dc905076806f5f1051484bb)
![{\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265411d5a140dc0002ec72ae163043398c2c4ae3)
![{\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fce0b0072d845d239f468c2cc5e6e2356d5b7b)
![{\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139febb70957d3fc394379208a529645d3f92607)
![{\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3615c0162305ef0e649028bc079ed02d8c2ca86)
![{\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\about 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a81ef689e5701aaaaf0ee99f58a1e554d345910)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec50d4775eb44fbf64884412f0fd669819c8226)
![{\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59fcdeff41ae9b824b27254a1525dc0c9608658)
![{\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7d4e8806a6a19efa4d3a6fe86e0bd78e181bcd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e87a1cabf3054c0a2423a0fa680c28b55f3826)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a9bd4cf651129217de039e63e147f093a13f1f)
![{\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha}^{j}(t)\right]=t\delta_{i}^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04eeeae3d39c079ff0f3c3081cd8f691884a1ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2a29ade78a0d9c46eb70ea013edc7f39d3bbef)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}tM{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa78fceffcc8679f50aa89efecea5a13bff398de)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d429891430f27f656044878c3550b6e2ab73db)
![{\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa98911ac733411476087fe41ccc4671f375a41)
![{\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22c85148f7941edd3e27997a900822380dbb9d4)
![{\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2502c143fa1e515de8f50a365ef75e517db2707)
![{\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3955202e968da948e469581289961c32140f9dc4)
