変数の変更

Mathematical technique for simplification

数学において、変数変換とは問題を単純化するために用いられる基本的な手法であり、元の変数を他の変数の関数に置き換えます。新しい変数で表現することで、問題がより単純化されるか、より理解しやすい問題と同等になることが意図されています。

変数変換は置換と関連する演算です。しかし、微分（連鎖律）や積分（置換積分）を考えればわかるように、これらは異なる演算です。

有用な変数変更の非常に簡単な例は、6次多項式の根を求める問題に見られます。

${\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.}$

6次多項式方程式は一般に根号を用いて解くことは不可能である（アーベル・ルフィニの定理を参照）。しかし、この方程式は次のように書ける。

${\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0}$

（これは多項式分解の単純な例である）。したがって、この方程式は新しい変数を定義することで簡略化できる。この多項式にxを代入すると、 ${\displaystyle u=x^{3}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u}}}$

${\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}$

これは2つの解を持つ二次方程式です。

${\displaystyle u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.}$

元の変数に関する解は、uにx ³を代入することで得られ、次のように表される。

${\displaystyle x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.}$

そして、実数解のみに興味があると仮定すると、元の方程式の解は

${\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.}$

簡単な例

方程式のシステムを考えてみましょう

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

ここで、および は を満たす正の整数です。(出典: 1991 AIME ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x>y}$

これを解くのは通常それほど難しくありませんが、少し面倒になるかもしれません。しかし、2番目の方程式を と書き直すことができます。 と を代入すると、系は になります。これを解くとと が得られます。最初の対を代入し直すとが得られ、解は になります。2番目の対を代入し直すと が得られ、解は になりません。したがって、系を解く解は です。 ${\displaystyle xy(x+y)=880}$ ${\displaystyle s=x+y}$ ${\displaystyle t=xy}$ ${\displaystyle s+t=71,st=880}$ ${\displaystyle (s,t)=(16,55)}$ ${\displaystyle (s,t)=(55,16)}$ ${\displaystyle x+y=16,xy=55,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5).}$ ${\displaystyle x+y=55,xy=16,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$

正式な紹介

を滑らかな多様体とし、をそれらの間の-微分同相写像とします。つまり、はから へ回連続微分可能な単射写像であり、 からへ回連続微分可能な逆写像です。ここでは任意の自然数（またはゼロ）、（滑らかな）、または（解析的な）です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :A\rightarrow B}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

この写像は正規座標変換または正規変数置換と呼ばれます。ここで、正規とはの - 性を指します。通常、を で置き換えることを示すには、のすべての出現箇所にの値を代入します。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x=\Phi (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

その他の例

座標変換

いくつかの方程式は極座標系に切り替えるとより簡単に解ける。例えば次の方程式を考えてみよう。

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

これは、何らかの物理的問題におけるポテンシャルエネルギー関数である可能性があります。すぐに解が見つからない場合は、次の代入を試してください。

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$与えられた ${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

が長さの区間外、例えば の外側を通る場合、写像はもはや単射ではなくなることに注意してください。したがって、は に限定されるべきです。例えば です。が原点（ は任意の値をとることができ、点は (0, 0) に写像されます）において単射でないため、 が除外されていることに注目してください。次に、元の変数のすべての出現を で規定される新しい式に置き換え、恒等式 を用いると、次式が得られます 。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

これで解は簡単に求まります。なので、または となります。 の逆関数を適用すると、 が と等価であることが示されます。実際、関数 に対して は原点を除いて 0 となります。 ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x\not =0}$ ${\displaystyle y=0}$

を許容していた場合、原点も解となっていたであろうが、それは元の問題の解ではないことに注意されたい。ここで重要なのは、 の全単射性である。関数は常に正（ の場合）であるため、絶対値が存在する。 ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

差別化

連鎖律は複雑な微分を簡略化するために用いられる。例えば、微分を計算する問題を考えてみよう。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

LetとThen の組み合わせ: ${\displaystyle y=\sin u}$ ${\displaystyle u=x^{2}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

統合

難しい積分は、多くの場合、変数変換によって評価されます。これは置換則によって可能になり、上記の連鎖律の使用に類似しています。また、難しい積分は、対応するヤコビ行列と行列式によって与えられる変数変換を用いて積分を簡略化することでも解くことができます。^[1]ヤコビ行列式とそれが与える変数変換を用いることは、極座標系、円筒座標系、球座標系などの座標系の基礎となります。

ルベーグ測度による変数変換の公式

次の定理により、ルベーグ測度に関する積分を、パラメータ化Gの下でのプルバック測度に関する同等の積分に関連付けることができます。^[2]証明は、ジョルダン内容の近似によるものです。

が の開部分集合であり、 が微分同相写像であると仮定します。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• が 上のルベーグ可測関数である場合、 は上でルベーグ可測です。またはである場合、 です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G(\Omega )}$ ${\displaystyle f\circ G}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G(\Omega ),m),}$ ${\displaystyle \int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx}$
• およびがルベーグ測定可能であれば、 はルベーグ測定可能であれば。 ${\displaystyle E\subset \Omega }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G(E)}$ ${\displaystyle m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx}$

この定理の帰結として、 のプルバック測度とプッシュフォワード測度の両方のラドン・ニコディム導関数を計算できます。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$

プルバック測定と変換式

変換によるプルバック測度は次のように定義される。プルバック測度の変数変換式は ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}\mu :=\mu (T(A))}$

${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu }$。

推進策と変換式

変換 に関するプッシュフォワード測度はと定義される。プッシュフォワード測度の変数変換式は ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))}$

${\displaystyle \int _{\Omega }g\circ Td\mu =\int _{T(\Omega )}gdT_{*}\mu }$。

ルベーグ測度の変数変換公式の系として、

• ルベーグ測度に関する引き戻しのラドン・ニコディム微分： ${\displaystyle {\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|}$
• ルベーグ測度に関するプッシュフォワードのラドン・ニコディム微分： ${\displaystyle {\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|}$

そこから得られるものは

• プルバック測定の変数変更式: ${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gdm=\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}m=\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)}$
• プッシュフォワード測定の変数変更式: ${\displaystyle \int _{\Omega }gdm=\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}dT_{*}m=\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)}$

微分方程式

微分と積分のための変数の変更は初等微積分で教えられますが、その手順が完全に実行されることはめったにありません。

変数変更の非常に幅広い用途は、微分方程式を考える際に明らかです。微分方程式では、連鎖律を用いて独立変数を変更したり、従属変数を変更することで何らかの微分処理を実行したりすることができます。点変換や接触変換における従属変数と独立変数の混合といった特殊な変更は、非常に複雑になる可能性がありますが、多くの自由度をもたらします。

多くの場合、変更の一般的な形式が問題に代入され、その過程でパラメータが選択され、問題が最も単純化されます。

スケーリングとシフト

おそらく最も単純な変更は、変数のスケーリングとシフト、つまり定数分だけ「引き伸ばされ」「移動された」新しい変数に置き換えることです。これは、問題から物理パラメータを取り出す実用的応用において非常に一般的です。n階微分の場合、この変更は単純に以下のようになります^。

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

どこ

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

これは連鎖律と微分の線形性を通して容易に示せます。この変化は、境界値問題などの問題から物理的パラメータを求める実用的応用において非常に一般的です。

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0}$

は、距離δだけ離れた平坦な固体壁の間の平行流体の流れを記述する。μは粘性率と圧力勾配であり、いずれも定数である。変数をスケーリングすると、問題は次のようになる。 ${\displaystyle dp/dx}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}$

どこ

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

スケーリングは多くの理由で有用です。パラメータ数を減らすことで解析を簡素化し、問題をより簡潔にすることができます。適切なスケーリングは変数を正規化、つまり0から1といった単位のない適切な範囲にすることができます。最後に、問題が数値解を必要とする場合、パラメータ数が少ないほど計算回数が少なくなります。

運動量と速度

連立方程式を考えてみましょう

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

与えられた関数 に対して、質量は（自明な）置換 によって消去できる。明らかにこれはから への全単射写像である。置換によって、系は ${\displaystyle H(x,v)}$ ${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v=\Phi (p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

ラグランジアン力学

力場が与えられた場合、ニュートンの運動方程式は ${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

ラグランジュは、これらの運動方程式が任意の変数の置換によってどのように変化するかを調べた。 ${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$ ${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

彼は方程式が

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

は関数 のニュートン方程式と等価です。ここで、Tは運動エネルギー、V は位置エネルギーです。 ${\displaystyle L=T-V}$

実際、置換が適切に選択されると（たとえば、システムの対称性や制約を利用して）、これらの方程式は、直交座標におけるニュートン方程式よりもはるかに簡単に解けます。

参照

• 変数変換（PDE）
• 確率密度の変数変換
• 等式の置換特性
• 普遍的なインスタンス化

参考文献

1. カプラン、ウィルフレッド(1973). 「積分における変数変換」.上級微積分学（第2版）. 参考文献: アディソン・ウェスレー社. pp.  269– 275.
2. Folland, GB (1999).実分析：現代技術とその応用（第2版）. ニューヨーク: Wiley. pp.  74– 75. ISBN 0-471-31716-0. OCLC  39849337。

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