派生語

Instantaneous rate of change (mathematics)

数学において、微分は関数の入力に対する出力の変化に対する感度を定量化する基本的なツールです。選択された入力値における単一変数関数の微分は、存在する場合、その点における関数のグラフの接線の傾きです。接線は、その入力値付近における関数の最良の線形近似です。微分は、しばしば瞬間変化率、つまり従属変数の瞬間変化と独立変数の瞬間変化の比として記述されます。^[1]微分を求めるプロセスは微分と 呼ばれます

微分には複数の異なる表記法があります。ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられたライプニッツ表記法は、2つの微分の比として表されます。一方、プライム表記法はプライムマークを付加して書きます。高階表記法は繰り返し微分を表し、通常、ライプニッツ表記法では微分に上付き文字を付加して、プライム表記法ではプライムマークを付加して表されます。高階微分は物理学で使用されます。例えば、運動する物体の位置の時間に関する1階微分は速度であり、 2階微分は加速度です

微分は、複数の実変数の関数に一般化できます。この場合、微分は、グラフが（適切な変換後）元の関数のグラフの最良線形近似となる線型変換として再解釈されます。ヤコビ行列は、独立変数と従属変数の選択によって与えられた基底に関して、この線型変換を表す行列です。これは、独立変数に関する偏微分によって計算できます。複数の変数の実数値関数の場合、ヤコビ行列は勾配ベクトルに簡約されます。

定義

極限として

実変数の関数は 、その定義域に を含む開区間が含まれ、極限が存在する場合、その定義域の点で微分可能です。^[2] これは、すべての正の実数に対して、となる正の実数が存在し、となるすべての正の実数に対してが定義され、 縦棒は絶対値を表します。これは極限 の(ε, δ)定義の例です。^[3] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle |h|<\delta }$ ${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle f(a+h)}$ $${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$

関数が⁠ ⁠で微分可能、つまり極限が存在する場合、この極限はにおけるの導関数と呼ばれます。 導関数の表記法は複数存在します。^[4]における の導関数は⁠ ⁠と表記して「⁠ ⁠の素数」と読むことも、 ⁠ ⁠と表記して「 ⁠ ⁠における⁠ ⁠に関するの導関数」または「⁠ ⁠ による（または ⁠ ⁠ 上の）⁠ ⁠による」と読むこともできます。以下の§ 表記法を参照してください。 が定義域のすべての点で導関数を持つ関数である場合、すべての点を におけるの導関数の値にマッピングすることによって関数を定義できます。この関数は と書かれ、 ⁠ ⁠の導関数と呼ばれます。関数は定義域の最大で導関数を持つ場合がありますが、すべての点で持つわけではありません。が定義され、他の場所では定義されていない場合ににおける値が等しい関数は、⁠ ⁠の導関数とも呼ばれます。これは依然として関数ですが、その定義域は の定義域よりも小さくなる場合があります。^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

例えば、を二乗関数とします。すると、微分の定義における商は^[6]です。 最後のステップの除算は である限り有効です。がに近づくほど、この式は値 に近づきます。極限が存在し、すべての入力に対して極限は です。したがって、二乗関数の微分は 2 倍関数です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$ ${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle f'(x)=2x}$

微分の定義における比は、関数 ${\displaystyle f}$のグラフ上の2点、具体的には点と通る直線の傾きです。 を小さくすると、これらの点は互いに近づき、この直線の傾きは極限値、つまりにおける のグラフの接線の傾きに近づきます。言い換えれば、微分は接線の傾きです。^[7] ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

無限小の使用

導関数を考える一つの方法は、関数の出力の無限小変化とその入力の無限小変化の比として考えることである。 ^[8]この直観を厳密なものにするためには、無限小量を操作するための規則のシステムが必要である。^[9]超実数システムは、無限量と無限小量を扱う方法である。超実数は、任意の有限個の項の形式のどの数よりも大きい数を含む実数の拡張である。そのような数は無限であり、その逆数は無限小である。超実数を微積分学の基礎に適用することを非標準解析と呼ぶ。これは、微積分学の基本概念である微分や積分を無限小で定義する方法を提供し、それによってライプニッツ記法のに正確な意味を与える。したがって、任意の無限小⁠ ⁠に対しての導関数はとなり、ここで は標準部分関数を表し、これは各有限超実数を最も近い実数に「丸め」ます。^[10]再び2乗関数を例に挙げると、 ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \operatorname {st} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

連続性と微分可能性

が⁠ ⁠で微分可能な場合、 は においても連続でなければならない。^[11]例として、点を選び、を⁠ ⁠未満の場合に値 1 を返し、以上の場合に異なる値 10 を返すステップ関数とすると、関数はにおいて導関数を持つことができない。が負の場合、 はステップの低い部分にあるため、 からへの割線は非常に急勾配になる。 が0 に近づくにつれて、傾きは無限大に近づく。が正の場合、 はステップの高い部分にあるため、 からへの割線の傾きは 0 になる。その結果、割線はどの傾きにも近づかないため、差分商の極限は存在しない。ただし、関数がある点で連続していても、そこでは微分可能ではない可能性がある。たとえば、で与えられる絶対値関数は⁠ ⁠で連続だが、そこでは微分可能ではない。 が正の場合、0 から への割線の傾きは1 になる。が負の場合、 からへの割線の傾きは⁠ ⁠です。^[12] これは、 におけるグラフの「折れ線」または「尖点」として図的に確認できます。滑らかなグラフを持つ関数であっても、その接線が垂直な点では微分可能ではありません。たとえば、 で与えられる関数はでは微分可能ではありません。まとめると、導関数を持つ関数は連続ですが、導関数を持たない連続関数も存在します。^[13] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}}$ ${\displaystyle x=0}$

実際に現れるほとんどの関数は、すべての点、またはほぼすべての点で微分を持ちます。微積分学の歴史の初期には、多くの数学者は連続関数はほとんどの点で微分可能であると仮定していました。^[14]穏やかな条件（例えば、関数が単調関数またはリプシッツ関数である場合）では、これは真実です。しかし、1872年にワイエルシュトラスは、どこでも連続であるが、どこでも微分不可能な関数の最初の例を発見しました。この例は現在、ワイエルシュトラス関数として知られています。^[15] 1931年、シュテファン・バナッハは、ある点で微分を持つ関数の集合が、すべての連続関数の空間における貧弱な集合であることを証明しました。非公式には、これはランダムな連続関数が1点でも微分を持つことはほとんどないことを意味します。^[16]

表記法

関数の微分を表す一般的な方法の1つは、1675年にゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって導入されたライプニッツ記法です。これは、微分を2つの微分（例：と）の商として表します。^[17]方程式を従属変数と独立変数の間の関数関係と見なす場合、今でも一般的に使用されています。1次微分は で表され、 「のに関する微分」と読みます。 [ ^18]この微分は、関数への微分演算子の適用として扱うこともできます。高次の微分は の次微分の表記法を使用して表されます。これらは、微分演算子の複数の適用を表す略語です。たとえば、^[19]いくつかの代替表記法とは異なり、ライプニッツ記法では、微分する変数を分母に明示的に指定するため、複数の関連する量を扱う際の曖昧さが排除されます合成関数の微分は連鎖律を使って表すことができる： [ 20 ^] ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {dy}{dx}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(x).}$ ${\textstyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}f(x){\Bigr )}.}$ ${\displaystyle u=g(x)}$ ${\displaystyle y=f(g(x))}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

微分法のもう1つの一般的な表記法は、関数⁠ ⁠の記号にプライム記号を使用することです。この表記法は、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって考案されたもので、現在ではプライム表記法として知られています。^[21] 1次導関数は⁠ ⁠と書かれ、「 ⁠ ⁠の⁠ ⁠素数」と読み、 ⁠ ⁠と書かれ、「⁠ ⁠プライム」と読みます。^{[22]同様に、2次導関数と3次導関数はそれぞれ}⁠ ⁠と⁠ ⁠と書かれます。^[23]この点を超える高次の導関数の個数を示すために、著者によっては上付きローマ数字 を使用する一方、または⁠ ⁠のように括弧内に数字を置く人もいます。^{[24]後者の表記法は一般化して}⁠ ⁠の⁠ ⁠導関数の表記法になります。^[19] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f'''}$ ${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$ ${\displaystyle f^{(4)}}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

ニュートン記法またはドット記法では、時間微分を表すために記号の上にドットが置かれます。が⁠ ⁠の関数である場合、1次および2次微分はそれぞれ⁠ ⁠と⁠ ⁠と書くことができます。この記法は、時間または弧長に関する微分にのみ使用されます。これは通常、物理学および微分幾何学の微分方程式で使用されます。^[25]しかし、ドット記法は高次微分（4次以上）では扱いにくくなり、複数の独立変数を扱うことができません ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

^別の表記法としてD表記法があり、これは微分演算子を記号⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$で表します。^{[19] 1}次導関数は⁠ ⁠と書き、高次の導関数は上付き文字で書きます。つまり、⁠ ... ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}f(x)}$ ${\displaystyle u=f(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}u}$ ${\displaystyle D_{x}f(x,y)}$ ${\textstyle D_{xy}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$ ${\displaystyle \textstyle D_{x}^{2}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$

原則として、関数の微分は定義から差分商を考慮し、その極限を計算することで計算できます。いくつかの単純な関数の微分が分かれば、より複雑な関数の微分をより単純な関数から求める規則を用いて、他の関数の微分をより簡単に計算できます。この微分を求めるプロセスは微分法として知られています。 [ 28 ]

基本関数の規則

べき乗の微分：

べき乗の微分： ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

• 、について

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• 三角関数：

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$逆三角関数： ${\displaystyle a>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$, for ${\displaystyle x>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$, for ${\displaystyle x,a>0}$

• 複合関数の規則

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• 以下の規則により、基本関数の微分から多くの関数の微分を導くことができます。 [

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, for ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, for ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

定数則：が定数関数である場合、すべての⁠ ⁠に対して、

The following rules allow deducing derivatives of many functions from the derivatives of the basic functions:^[30]

• Constant rule: if ${\displaystyle f}$ is a constant function, then for all ⁠ ${\displaystyle x}$⁠,

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• Sum rule:

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$ for all functions ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$ and all real numbers ${\displaystyle \alpha }$ and ⁠ ${\displaystyle \beta }$⁠.

• Product rule:

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$ for all functions ${\displaystyle f}$ and ⁠ ${\displaystyle g}$⁠. As a special case, this rule includes the fact ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ whenever ${\displaystyle \alpha }$ is a constant because ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$ by the constant rule.

• Quotient rule:

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ すべての関数およびすべての入力において、 g ≠ 0となります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• 合成関数の連鎖律： ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ならば、

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

計算例

で与えられる関数の導関数はです。 ここで、第2項は連鎖律を用いて、第3項は積分則を用い て計算されました。基本関数、、、の既知の導関数、および定数も使用されました。 ${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle 7}$

反微分

関数の反微分とは、その導関数が である関数のことです。反微分は一意ではありません。が の反微分である場合、 も の反微分です。ここでは任意の定数です。定数の導関数は0だからです。^[31]微積分学の基本定理は、関数の反微分を求めることで、その関数で囲まれた図形の面積を計算できることを示しています。より正確には、閉区間における関数の積分は、その区間の端点で評価された反微分の値の差に等しくなります。^[32] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A+c}$ ${\displaystyle c}$

高階微分

高階導関数は、関数を繰り返し微分した結果です。 が微分可能関数であるとすると、 の導関数は 1 階導関数で、⁠ ⁠と表記されます。 の導関数は2 階導関数で、⁠ ⁠と表記され、 の導関数は3 階導関数で、⁠ ⁠と表記されます。このプロセスを続けると、存在する場合、⁠ ⁠番目の導関数は⁠ ⁠番目の導関数の導関数、つまり⁠ ⁠階の導関数になります。上で説明したように、関数の導関数の一般化は⁠ ⁠と表記できます。^[33]連続する導関数 を持つ関数は回微分可能と呼ばれます。-階導関数が連続する場合、関数は微分可能性クラス⁠ ⁠であると言われます。^[34]無限の数の導関数を持つ関数は無限微分可能または滑らかと呼ばれます。^[35]任意の多項式関数は無限微分可能です。繰り返し微分をとると、最終的には定数関数となり、その関数のそれ以降の微分はすべてゼロになります。^[36] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f'''}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$

高階微分の応用例の1つは物理学です。関数がある時刻における物体の位置を表すとします。その関数の1階微分は物体の時間に対する速度、2階微分は物体の時間に対する加速度、 ^[28]、3階微分はジャークです。^[37]

他の次元では

ベクトル値関数

実変数のベクトル値関数は、 実数をあるベクトル空間のベクトルに渡します。ベクトル値関数は座標関数に分割することができ、つまり となります。これには、例えば、または内のパラメトリック曲線が含まれます。座標関数は実数値関数であるため、上記の微分の定義が適用されます。 の微分は、座標が座標関数の微分である接線ベクトルと呼ばれるベクトルとして定義されます。つまり、^{[38]極限が存在する場合です。分子の減算は、スカラーではなく}ベクトルの減算です。 のあらゆる値に対しての微分が存在する場合、 は別のベクトル値関数です。^[38] ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ $${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {y} '}$

偏微分

関数は複数の変数に依存する場合があります。複数の変数を持つ関数の偏微分とは、他の変数を一定に保ちながら、それらの変数のうちの1つについてその関数を微分したものです。偏微分はベクトル解析と微分幾何学で使用されます。通常の微分と同様に、複数の表記法があります。関数の変数に関する偏微分は、 ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$、、、、、 ${\displaystyle f'_{x}}$ ${\displaystyle \partial _{x}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

など^、様々な方法で表記されます。^[39]これは、関数の -方向の変化率と考えることができます。^[40]ここで、∂は丸められたdで、偏微分記号と呼ばれます。文字dと区別するために、∂は「dee」ではなく「der」、「del」、または「partial」と発音されることがあります。^[41]例えば、⁠ ⁠とすると、関数のと の両方の変数に関する偏微分は、それぞれ次のようになります。 一般に、点における方向の関数の偏微分は次のように定義されます。^[42] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$ ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

これは、複数の実変数を持つ関数の研究において基本的なものです。をそのような実数値関数とします。についてのすべての偏微分が点⁠ ⁠で定義されている場合、これらの偏微分は⁠における の勾配と呼ばれるベクトルを定義します。⁠ がある領域のすべての点で微分可能である場合、勾配は点をベクトル ⁠ に写すベクトル値関数です。したがって、勾配はベクトル場 ⁠を決定します。^[43] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ $${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$

方向微分

⁠ ⁠上の実数値関数である場合、 ⁠ ⁠ の偏微分は座標軸の方向におけるその変化を測定します。例えば、 ⁠ ⁠ がおよび⁠ ⁠の関数である場合、その偏微分は ⁠ ⁠ と⁠ ⁠ の方向における⁠ の変化を測定します。ただし、対角線⁠ ⁠に沿った方向など、他の方向における ⁠ の変化を直接測定するものではありません。これらは方向微分を使用して測定されます。ベクトル⁠ ⁠が与えられた場合、点⁠ ⁠における⁠ ⁠の方向微分は次のようになります。^[44] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

のすべての偏微分が存在し、 ⁠ ⁠で連続である場合、それらは次の式によって方向の の方向微分を決定します。 ^[45] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

全微分とヤコビ行列

が の開部分集合から⁠ ⁠への関数である場合、の任意の方向への方向微分は、その点およびその方向における への最良の線形近似です。しかし、⁠ ⁠の場合には、単一の方向微分では の挙動の完全な描像を与えることはできません。全微分は、すべての方向を一度に考慮することにより完全な描像を与えます。つまり、⁠ ⁠から始まる任意のベクトルに対して、線形近似式が成り立ちます。^[46]単変数微分と同様に、は、この近似の誤差が可能な限り小さくなるように選択されます。 における の全微分は、次の式が成り立つ唯一の線形変換です。 ^[46]ここでは⁠ ⁠のベクトルであるため、分母のノルムは 上の標準の長さです。しかし、は⁠ ⁠のベクトルであり、分子のノルムは 上の標準の長さです。^[46]が⁠ ⁠から始まるベクトルである場合、 はによるのプッシュフォワードと呼ばれます。^[47] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ $${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$

全微分が⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {a} }$に存在する場合、 のすべての偏微分と方向微分は⁠ ⁠に存在し、すべての⁠ ⁠に対して、は ⁠ ⁠方向の⁠ ⁠方向微分です。 が座標関数を用いて表され、⁠ ⁠となる場合、全微分は偏微分を用いて行列 ⁠ ⁠として表すことができます。この行列は⁠ ⁠におけるヤコビ行列と呼ばれます。^[48] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$

一般化

微分の概念は、他の多くの設定に拡張できます。共通点は、関数のある点における微分は、その点における関数の線形近似として機能するということです

• 微分に関する重要な一般化は、複素変数の複素関数、例えば複素数（の領域）から⁠ ⁠への関数に関係する。このような関数の微分の概念は、定義において実変数を複素変数に置き換えることによって得られる。^{[49] を複素数を}⁠ ⁠と書いて⁠ ⁠と同一視すると、からへの微分可能な関数は、からへの関数としても確かに微分可能である（その偏微分がすべて存在するという意味で）が、その逆は一般には成り立たない。複素微分は、実微分が複素線型である場合にのみ存在し、これにより、コーシー・リーマン方程式と呼ばれる偏微分間の関係が課される（正則関数を参照）。^[50] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• もう一つの一般化は、微分可能多様体または滑らかな多様体間の関数に関するものです。直感的に言えば、そのような多様体は、各点の近くをその接空間と呼ばれるベクトル空間で近似できる空間です。典型的な例は、 ⁠ ⁠内の滑らかな面です。⁠ ⁠内の点における多様体間の（微分可能な）写像の微分（または微分）は、 ⁠ ⁠内の点の接空間から⁠ ⁠内の接空間への線型写像です。微分関数は、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の接束間の写像になります。この定義は微分幾何学で使用されます。^[51] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• 微分は、バナッハ空間などのベクトル空間間の写像に対しても定義でき、その一般化はガトー微分とフレシェ微分です。^[52]
• 古典的な微分法の欠点の一つは、非常に多くの関数が微分不可能であるということです。しかしながら、弱微分法と呼ばれる概念を用いて、すべての連続関数と他の多くの関数を微分できるように、微分の概念を拡張する方法があります。その考え方は、連続関数を超関数空間と呼ばれるより広い空間に埋め込み、関数が「平均的に」微分可能であることのみを要求するというものです。^[53]
• 微分の性質は、代数学と位相幾何学における多くの類似した対象の導入と研究に影響を与えてきました。一例として、微分代数学が挙げられます。ここでは、環、イデアル、体など、抽象代数学におけるいくつかのトピックの導出が含まれます。^[54]
• 微分の離散的等価物は差分です。微分積分学の研究は、時間スケール微分積分学における差分積分と統合されています。^[55]
• 算術微分は、素因数分解によって整数に対して定義される関数を伴います。これは積分則との類似性です。^[56]

参照

• 共変微分
• 微分
• 外微分
• 関数微分
• リー微分

注釈

1. Apostol 1967, p. 160; Stewart 2002, pp. 129–130; Strang et al. 2023, p. 224
2. Apostol 1967, p. 160; Stewart 2002, p. 127; Strang et al. 2023, p. 220.
3. Gonick 2012, p. 83; Thomas et al. 2014, p. 60.
4. Gonick 2012, p. 88; Strang et al. 2023, p. 234.
5. Gonick 2012, p. 83; Strang et al. 2023, p. 232.
6. Gonick 2012, pp. 77–80.
7. Thompson 1998, pp. 34, 104; Stewart 2002, p. 128
8. Thompson 1998、84～85ページ
9. Keisler 2012、902 ～904ページ
10. Keisler 2012、45ページ；Henle & Kleinberg 2003、66ページ
11. Gonick 2012、156ページ；Thomas et al. 2014、114ページ；Strang et al. 2023、237ページ
12. Gonick 2012、149ページ；Thomas et al. 2014、113ページ；Strang et al. 2023、237ページ
13. Gonick 2012, p. 156; Thomas et al. 2014, p. 114; Strang et al. 2023, pp. 237–238.
14. Jašek 1922; Jarník 1922; Rychlík 1923.
15. David 2018.
16. Banach 1931, Hewitt & Stromberg 1965 で引用.
17. Apostol 1967, p. 172; Cajori 2007, p. 204.
18. Moore & Siegel 2013, p. 110.
19. Varberg, Purcell & Rigdon 2007, pp. 125–126
20. 微積分学の極限論的定式化において、様々な著者が記号 に様々な意味を割り当ててきました。Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 119 や Stewart 2002, p. 177 などの著者は、記号自体には意味を割り当てず、記号 の一部としてのみ意味を割り当てています。また、 を独立変数 として定義し、によってを定義する著者もいます。非標準解析では、 は無限小として定義されます。これは、関数 の外微分としても解釈されます。詳細については、微分（無限小）を参照してください。 ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle du}$ ${\textstyle {\frac {du}{dx}}}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle \textstyle du=dxf'(x)}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle u}$
21. Schwartzman 1994, p. 171; Cajori 1923, pp. 6–7, 10–12, 21–24.
22. Moore & Siegel 2013, p. 110; Goodman 1963, pp. 78–79
23. Varberg, Purcell & Rigdon 2007, pp. 125–126; Cajori 2007, p. 228.
24. Choudary & Niculescu 2014, p. 222; Apostol 1967, p. 171.
25. Evans 1999, p. 63; Kreyszig 1991, p. 1.
26. Cajori 1923.
27. Apostol 1967, p. 172; Varberg, Purcell & Rigdon 2007, pp. 125–126.
28. Apostol 1967, p. 160
29. Varberg, Purcell & Rigdon 2007. べき乗則については133ページ、三角関数については115～116ページ、自然対数については326ページ、底⁠ ⁠の指数関数については338～339ページ、底 ${\displaystyle e}$⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$の指数関数については343ページ、底⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$の対数関数については344ページ、三角関数の逆関数については369ページを参照してください
30. 定数則と和則については、それぞれApostol 1967、161ページと164ページを参照してください。積則、商則、連鎖則については、それぞれVarberg、Purcell、Rigdon 2007、111～112ページと119ページを参照してください。積則の特殊なケース、つまり定数と関数の積については、Varberg、Purcell、Rigdon 2007、108～109ページを参照してください。
31. Strang et al. 2023、485～486ページ。
32. Strang et al. 2023、552～559ページ。
33. Apostol 1967、160ページ；Varberg、Purcell、Rigdon 2007、125～126ページ
34. ワーナー 1983、5ページ
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37. スチュワート 2002、193ページ
38. スチュワート 2002、893ページより
39. Stewart 2002, p. 947; Christopher 2013, p. 682.
40. Stewart 2002, p. 949.
41. Silverman 1989, p. 216; Bhardwaj 2005, p. 6.4参照.
42. Mathai & Haubold 2017, p. 52.
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44. Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 642.
45. Guzman 2003, p. 35
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48. Davvaz 2023, p. 267.
49. Roussos 2014, p. 303.
50. Gbur 2011, pp. 261–264.
51. Gray, Abbena & Salamon 2006, p. 826.
52. Azegami 2020. ガトー導関数についてはp. 209、フレシェ導関数についてはp. 211を参照。
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外部リンク

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• Wolfram Alphaのオンライン微分計算機

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